---
route: /task/cke-2015-2023-pp-49
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-49
source: CKE 2015-2023 PP
category: Funkcje
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-49

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Funkcje
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Funkcja wymierna \(f\) jest dana wzorem \(f(x)=\frac{x^2+2x-3}{x^2-3x-6}\). Wyznacz wszystkie wartości argumentu, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartość \(2\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x=-1\) lub \(x=9\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Szukamy wszystkich \(x\), dla których \(f(x) = 2\).

**Krok 1: Zapisanie równania**

$$f(x) = 2$$

$$\frac{x^2+2x-3}{x^2-3x-6} = 2$$

**Krok 2: Określenie dziedziny**

Mianownik musi być różny od zera: \(x^2-3x-6 \neq 0\)

$$\Delta = 9 + 24 = 33$$

$$x \neq \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$$

**Krok 3: Rozwiązanie równania**

Mnożymy obie strony przez mianownik (przy założeniu, że \(x^2-3x-6 \neq 0\)):

$$x^2+2x-3 = 2(x^2-3x-6)$$

$$x^2+2x-3 = 2x^2-6x-12$$

Przenosimy wszystko na lewą stronę:

$$x^2+2x-3 - 2x^2+6x+12 = 0$$

$$-x^2+8x+9 = 0$$

Mnożymy przez \(-1\):

$$x^2-8x-9 = 0$$

**Krok 4: Rozwiązanie równania kwadratowego**

$$\Delta = 64 + 36 = 100$$

$$x = \frac{8 \pm 10}{2}$$

$$x_1 = \frac{8+10}{2} = 9$$

$$x_2 = \frac{8-10}{2} = -1$$

**Krok 5: Sprawdzenie dziedziny**

Sprawdzamy, czy \(x_1 = 9\) i \(x_2 = -1\) należą do dziedziny:

Dla \(x = 9\): 
$$x^2-3x-6 = 81-27-6 = 48 \neq 0$$ ✓

Dla \(x = -1\): 
$$x^2-3x-6 = 1+3-6 = -2 \neq 0$$ ✓

Obie wartości należą do dziedziny.

**Odpowiedź:**

Funkcja \(f\) przyjmuje wartość \(2\) dla \(x = -1\) oraz \(x = 9\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcje
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp