---
route: /task/cke-2015-2023-pp-48
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-48
source: CKE 2015-2023 PP
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-48

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że jeżeli \(\alpha \) i \(\beta \) są kątami ostrymi takimi, że \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{35}}{6}\) oraz \(\operatorname{tg} \beta =\sqrt{35}\), to \(\alpha =\beta \).

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że \(\alpha = \beta\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Aby wykazać, że \(\alpha = \beta\), wystarczy pokazać, że \(\sin \alpha = \sin \beta\) lub \(\tan \alpha = \tan \beta\) (przy założeniu, że oba kąty są ostre).

**Krok 1: Znajdźmy \(\cos \alpha\)**

Dane: \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{35}}{6}\)

Z tożsamości \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):

$$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{35}}{6}\right)^2 = 1 - \frac{35}{36} = \frac{1}{36}$$

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, \(\cos \alpha > 0\), więc:

$$\cos \alpha = \frac{1}{6}$$

**Krok 2: Obliczmy \(\tan \alpha\)**

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{35}}{6}}{\frac{1}{6}} = \frac{\sqrt{35}}{6} \cdot \frac{6}{1} = \sqrt{35}$$

**Krok 3: Porównajmy z daną dla kąta \(\beta\)**

Dane: \(\tan \beta = \sqrt{35}\)

Z kroków powyżej mamy:
$$\tan \alpha = \sqrt{35} = \tan \beta$$

**Krok 4: Wnioskowanie**

Ponieważ oba kąty \(\alpha\) i \(\beta\) są ostre (należą do przedziału \((0°, 90°)\)), a funkcja tangens jest różnowartościowa w tym przedziale, więc z równości \(\tan \alpha = \tan \beta\) wynika, że:

$$\alpha = \beta$$

co należało wykazać. \(\square\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp