---
route: /task/cke-2015-2023-pp-47
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-47
source: CKE 2015-2023 PP
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-47

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest kątem ostrym oraz \(\cos \alpha =\frac{2}{3}\). Wykaż, że średnia arytmetyczna liczb: \(a=\sin \alpha \), \(b=\frac{1}{2}\) oraz \(c=\frac{\operatorname{tg} \alpha }{3}\) jest równa \(\frac{\sqrt{5}+1}{6}\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że średnia arytmetyczna jest równa \(\frac{\sqrt{5}+1}{6}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Musimy wykazać, że średnia arytmetyczna liczb \(a\), \(b\), \(c\) wynosi \(\frac{\sqrt{5}+1}{6}\).

## Krok 1: Obliczenie \(\sin \alpha\)

Z jedynki trygonometrycznej:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Podstawiamy \(\cos \alpha = \frac{2}{3}\):
$$\sin^2 \alpha + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1$$

$$\sin^2 \alpha + \frac{4}{9} = 1$$

$$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, \(\sin \alpha > 0\), więc:
$$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$$

Zatem \(a = \frac{\sqrt{5}}{3}\).

## Krok 2: Obliczenie \(\operatorname{tg} \alpha\)

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$

Stąd:
$$c = \frac{\operatorname{tg} \alpha}{3} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{3} = \frac{\sqrt{5}}{6}$$

## Krok 3: Obliczenie średniej arytmetycznej

Mamy:
- \(a = \frac{\sqrt{5}}{3}\)
- \(b = \frac{1}{2}\)
- \(c = \frac{\sqrt{5}}{6}\)

Średnia arytmetyczna:
$$\frac{a + b + c}{3} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{6}}{3}$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika (6):
$$\frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{2\sqrt{5}}{6}, \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}, \quad \frac{\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{6}$$

$$\frac{a + b + c}{3} = \frac{\frac{2\sqrt{5} + 3 + \sqrt{5}}{6}}{3} = \frac{\frac{3\sqrt{5} + 3}{6}}{3}$$

$$= \frac{3\sqrt{5} + 3}{6 \cdot 3} = \frac{3(\sqrt{5} + 1)}{18} = \frac{\sqrt{5} + 1}{6}$$

Zatem średnia arytmetyczna liczb \(a\), \(b\), \(c\) jest równa \(\frac{\sqrt{5}+1}{6}\), co należało wykazać. ∎

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp