---
route: /task/cke-2015-2023-pp-46
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-46
source: CKE 2015-2023 PP
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-46

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dla pewnego kąta ostrego \(\alpha \) funkcje trygonometryczne sinus i cosinus mają wartości \(\sin \alpha =a-\frac{1}{4}\), \(\cos \alpha =a+\frac{1}{4}\). Uzasadnij, że \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{4-\sqrt{7}}{3}\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{4-\sqrt{7}}{3}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Korzysta się z jedynki trygonometrycznej, aby wyznaczyć wartość \(a\), a następnie oblicza tangens.

## Krok 1: Zastosowanie jedynki trygonometrycznej

Dla dowolnego kąta zachodzi:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Podstawia się dane wartości:
$$\left(a - \frac{1}{4}\right)^2 + \left(a + \frac{1}{4}\right)^2 = 1$$

## Krok 2: Rozwinięcie kwadratów

$$a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = 1$$

$$a^2 - \frac{a}{2} + \frac{1}{16} + a^2 + \frac{a}{2} + \frac{1}{16} = 1$$

## Krok 3: Uproszczenie równania

Wyrazy \(-\frac{a}{2}\) i \(+\frac{a}{2}\) się znoszą:
$$2a^2 + \frac{2}{16} = 1$$

$$2a^2 + \frac{1}{8} = 1$$

$$2a^2 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$

$$a^2 = \frac{7}{16}$$

## Krok 4: Wyznaczenie wartości \(a\)

$$a = \pm\frac{\sqrt{7}}{4}$$

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, to \(\sin \alpha > 0\) i \(\cos \alpha > 0\).

Sprawdza się warunek \(\sin \alpha > 0\):
$$a - \frac{1}{4} > 0 \implies a > \frac{1}{4}$$

Ponieważ \(\frac{\sqrt{7}}{4} \approx \frac{2{,}65}{4} \approx 0{,}66 > 0{,}25\), to wybiera się:
$$a = \frac{\sqrt{7}}{4}$$

## Krok 5: Obliczenie sinusa i cosinusa

$$\sin \alpha = \frac{\sqrt{7}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{7} - 1}{4}$$

$$\cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{7} + 1}{4}$$

## Krok 6: Obliczenie tangensa

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{7} - 1}{4}}{\frac{\sqrt{7} + 1}{4}} = \frac{\sqrt{7} - 1}{\sqrt{7} + 1}$$

## Krok 7: Wymiernienie mianownika

Mnoży się licznik i mianownik przez \(\sqrt{7} - 1\):
$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{(\sqrt{7} - 1)^2}{(\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} - 1)} = \frac{7 - 2\sqrt{7} + 1}{7 - 1} = \frac{8 - 2\sqrt{7}}{6} = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$$

Wykazałem, że \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp