---
route: /task/cke-2015-2023-pp-45
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-45
source: CKE 2015-2023 PP
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-45

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kąty \(\alpha \) i \(\beta \) są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym i \(\cos \alpha =\frac{2}{5}\). Oblicz \(\operatorname{tg} \alpha \cdot \sin \beta \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{21}}{5}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-45.png]

Skoro \(\alpha\) i \(\beta\) są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym, to:

$$\alpha + \beta = 90°$$

czyli \(\beta = 90° - \alpha\), więc \(\sin \beta = \sin(90° - \alpha) = \cos \alpha\).

**Krok 2: Obliczamy \(\sin \alpha\)**

Z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$$

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, \(\sin \alpha > 0\):

$$\sin \alpha = \frac{\sqrt{21}}{5}$$

**Krok 3: Obliczamy \(\operatorname{tg} \alpha\)**

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{21}}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{\sqrt{21}}{2}$$

**Krok 4: Obliczamy \(\sin \beta\)**

Z zależności między kątami:

$$\sin \beta = \cos \alpha = \frac{2}{5}$$

**Krok 5: Obliczamy iloczyn**

$$\operatorname{tg} \alpha \cdot \sin \beta = \frac{\sqrt{21}}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2\sqrt{21}}{10} = \frac{\sqrt{21}}{5}$$

**Odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{21}}{5}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp