---
route: /task/cke-2015-2023-pp-44
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-44
source: CKE 2015-2023 PP
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-44

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{2\sin \alpha -3\cos \alpha }{3\cos \alpha -5\sin \alpha }\), jeśli wiadomo, że \(\alpha \) jest kątem ostrym oraz \(\operatorname{tg} \alpha =3\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(-\frac{1}{4}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Skoro \(\operatorname{tg} \alpha = 3\), to \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 3\), czyli \(\sin \alpha = 3\cos \alpha\).

Podstawia się \(\sin \alpha = 3\cos \alpha\) do danego wyrażenia:

$$\frac{2\sin \alpha - 3\cos \alpha}{3\cos \alpha - 5\sin \alpha} = \frac{2 \cdot 3\cos \alpha - 3\cos \alpha}{3\cos \alpha - 5 \cdot 3\cos \alpha}$$

Upraszcza się licznik:
$$2 \cdot 3\cos \alpha - 3\cos \alpha = 6\cos \alpha - 3\cos \alpha = 3\cos \alpha$$

Upraszcza się mianownik:
$$3\cos \alpha - 5 \cdot 3\cos \alpha = 3\cos \alpha - 15\cos \alpha = -12\cos \alpha$$

Otrzymuje się:
$$\frac{3\cos \alpha}{-12\cos \alpha}$$

Skracam przez \(\cos \alpha\) (możemy to zrobić, bo \(\alpha\) jest kątem ostrym, więc \(\cos \alpha \neq 0\)):

$$\frac{3}{-12} = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$$

**Odpowiedź:** \(-\frac{1}{4}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp