---
route: /task/cke-2015-2023-pp-43
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-43
source: CKE 2015-2023 PP
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-43

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dana jest liczba \(a=\sin 72^\circ \). Zapisz liczbę \(1+\operatorname{tg}^2 72^\circ \) w zależności od \(a\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{1}{1-a^2}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Musimy wyrazić \(1 + \operatorname{tg}^2 72°\) przez \(a = \sin 72°\).

**Krok 1: Użycie tożsamości trygonometrycznej**

Przypominam podstawową tożsamość trygonometryczną:
$$1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

Dowód tej tożsamości: dzielimy obie strony \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) przez \(\cos^2 \alpha\):
$$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$
$$\operatorname{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

**Krok 2: Zastosowanie tożsamości dla kąta 72°**

Dla \(\alpha = 72°\):
$$1 + \operatorname{tg}^2 72° = \frac{1}{\cos^2 72°}$$

**Krok 3: Wyrażenie \(\cos^2 72°\) przez \(\sin 72°\)**

Z podstawowej tożsamości pitagorejskiej:
$$\sin^2 72° + \cos^2 72° = 1$$

Stąd:
$$\cos^2 72° = 1 - \sin^2 72°$$

**Krok 4: Podstawienie \(a = \sin 72°\)**

Mamy \(a = \sin 72°\), więc:
$$\cos^2 72° = 1 - a^2$$

**Krok 5: Podstawienie do wzoru**

$$1 + \operatorname{tg}^2 72° = \frac{1}{\cos^2 72°} = \frac{1}{1 - a^2}$$

**Odpowiedź:** $$\boxed{\frac{1}{1-a^2}}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp