---
route: /task/cke-2015-2023-pp-42
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-42
source: CKE 2015-2023 PP
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-42

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha \) i \(\beta \), w którym \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}\). Wtedy

## Odpowiedzi

- **A.** \( \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2} \)
- **B.** \( \cos \beta =\frac{\sqrt{6}}{3} \)
- **C.** \( \operatorname{tg} \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3} \)
- **D.** \( \operatorname{tg} \beta =\frac{\sqrt{6}}{2} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-42.png]

Dane jest, że w trójkącie prostokątnym \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}\), gdzie \(\alpha\) i \(\beta\) to kąty ostre.

**Krok 2: Znajdźmy \(\cos \alpha\)**

Z jedynki trygonometrycznej:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\frac{6}{9} + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\frac{2}{3} + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$$

$$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

(wartość dodatnia, bo \(\alpha\) jest kątem ostrym)

Opcja A jest błędna, bo \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \neq \frac{\sqrt{3}}{2}\).

**Krok 3: Wykorzystajmy związek między kątami**

W trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych wynosi \(90°\), więc:
$$\alpha + \beta = 90°$$

Zatem:
$$\beta = 90° - \alpha$$

**Krok 4: Znajdźmy \(\cos \beta\)**

Ze wzoru na kąty dopełniające:
$$\cos \beta = \cos(90° - \alpha) = \sin \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

Opcja B jest **prawdziwa**.

**Krok 5: Sprawdźmy opcję C**

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$$

Opcja C jest błędna, bo \(\operatorname{tg} \alpha = \sqrt{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{3}\).

**Krok 6: Sprawdźmy opcję D**

$$\operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{3}{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Opcja D jest błędna, bo \(\operatorname{tg} \beta = \frac{\sqrt{2}}{2} \neq \frac{\sqrt{6}}{2}\).

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp