---
route: /task/cke-2015-2023-pp-41
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-41
source: CKE 2015-2023 PP
category: Geometria analityczna
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-41

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie rysujemy łamane. Kolejne wierzchołki każdej z tych łamanych to punkty: \[A_1=(0,0),\quad A_2=(1,0),\quad A_3=(1,-1),\quad A_4=(-1,-1),\quad A_5=(-1,1),\quad A_6=(2,1)\] i tak dalej. Na rysunku jest przedstawiona łamana składająca się z dziesięciu odcinków, której ostatnim wierzchołkiem jest punkt \(A_{11}=(3,-3)\). Funkcja \(f\) przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej \(n\ge 1\) długość łamanej złożonej z \(2n\) odcinków, czyli takiej, której początkowym wierzchołkiem jest punkt \(A_1\), a końcowym \(A_{2n+1}\). Wyznacz wzór funkcji \(f\) oraz oblicz jej wartość dla \(n=33\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(f(n)=n(n+1)\)\(f(33)=1122\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Analiza układu punktów

Zapiszmy kolejne punkty i przeanalizujmy wzór ich położenia:
- \(A_1 = (0, 0)\)
- \(A_2 = (1, 0)\)
- \(A_3 = (1, -1)\)
- \(A_4 = (-1, -1)\)
- \(A_5 = (-1, 1)\)
- \(A_6 = (2, 1)\)
- ...
- \(A_{11} = (3, -3)\)

## Krok 2: Identyfikacja wzoru współrzędnych

Obserwujemy, że punkty o nieparzystych indeksach tworzą wzór:
- \(A_1 = (0, 0)\)
- \(A_3 = (1, -1)\)
- \(A_5 = (-1, 1)\)
- \(A_7 = (2, -2)\) (kontynuując wzór)
- \(A_9 = (-2, 2)\)
- \(A_{11} = (3, -3)\)

Dla \(A_{2k+1}\) gdzie \(k \geq 0\):
- Jeśli \(k\) parzyste: \(A_{2k+1} = \left(\frac{k}{2}, -\frac{k}{2}\right)\)
- Jeśli \(k\) nieparzyste: \(A_{2k+1} = \left(-\frac{k+1}{2}, \frac{k+1}{2}\right)\)

## Krok 3: Obliczenie długości odcinków

Łamana z \(2n\) odcinków kończy się w \(A_{2n+1}\).

Obliczmy długości kolejnych par odcinków:

**Para 1** (\(A_1 \to A_2 \to A_3\)):
$$|A_1A_2| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2} = 1$$
$$|A_2A_3| = \sqrt{(1-1)^2 + (-1-0)^2} = 1$$
Suma: \(1 + 1 = 2\)

**Para 2** (\(A_3 \to A_4 \to A_5\)):
$$|A_3A_4| = \sqrt{(-1-1)^2 + (-1-(-1))^2} = 2$$
$$|A_4A_5| = \sqrt{(-1-(-1))^2 + (1-(-1))^2} = 2$$
Suma: \(2 + 2 = 4\)

**Para 3** (\(A_5 \to A_6 \to A_7\)):
$$|A_5A_6| = \sqrt{(2-(-1))^2 + (1-1)^2} = 3$$
$$|A_6A_7| = \sqrt{(2-2)^2 + (-2-1)^2} = 3$$
Suma: \(3 + 3 = 6\)

## Krok 4: Wzór na długość

Obserwujemy, że para numer \(k\) (dla \(k = 1, 2, 3, ..., n\)) ma łączną długość \(2k\).

Długość łamanej z \(2n\) odcinków:
$$f(n) = \sum_{k=1}^{n} 2k = 2\sum_{k=1}^{n} k = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$$

## Krok 5: Weryfikacja

Dla \(n = 1\): \(f(1) = 1 \cdot 2 = 2\) ✓ (odcinki \(A_1A_2\) i \(A_2A_3\))

Dla \(n = 5\): \(f(5) = 5 \cdot 6 = 30\) (łamana do \(A_{11}\))
Sprawdzenie: \(2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30\) ✓

## Krok 6: Obliczenie \(f(33)\)

$$f(33) = 33 \cdot 34 = 1122$$

**Odpowiedź:**
$$f(n) = n(n+1)$$
$$f(33) = 1122$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp