---
route: /task/cke-2015-2023-pp-40
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-40
source: CKE 2015-2023 PP
category: Funkcja kwadratowa
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-40

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wierzchołki trójkąta \(ABC\) leżą na paraboli, która jest wykresem pewnej funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta jest równe \(8\), punkt \(C=(1,4)\) jest wierzchołkiem paraboli, a punkty \(A\) i \(B\) leżą na osi \(Ox\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(f(x)=-(x-1)^2+4\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Skoro \(C = (1, 4)\) jest wierzchołkiem paraboli, funkcję możemy zapisać w postaci kanonicznej:

$$f(x) = a(x - 1)^2 + 4$$

gdzie \(a \neq 0\) to współczynnik, który musimy wyznaczyć.

## Analiza położenia punktów \(A\) i \(B\)

Punkty \(A\) i \(B\) leżą na osi \(Ox\), więc są miejscami zerowymi funkcji \(f\). Rozwiązujemy równanie:

$$a(x - 1)^2 + 4 = 0$$

$$(x - 1)^2 = -\frac{4}{a}$$

Aby równanie miało dwa różne rozwiązania rzeczywiste, musi być \(-\frac{4}{a} > 0\), czyli \(a < 0\).

Rozwiązania:
$$x - 1 = \pm\sqrt{-\frac{4}{a}} = \pm\frac{2}{\sqrt{-a}}$$

$$x = 1 \pm \frac{2}{\sqrt{-a}}$$

Zatem punkty \(A\) i \(B\) to:
$$A = \left(1 - \frac{2}{\sqrt{-a}}, 0\right), \quad B = \left(1 + \frac{2}{\sqrt{-a}}, 0\right)$$

## Obliczenie długości podstawy trójkąta

Długość odcinka \(AB\):

$$|AB| = \left(1 + \frac{2}{\sqrt{-a}}\right) - \left(1 - \frac{2}{\sqrt{-a}}\right) = \frac{4}{\sqrt{-a}}$$

## Obliczenie pola trójkąta

Trójkąt \(ABC\) ma podstawę \(AB\) leżącą na osi \(Ox\) i wysokość równą rzędnej punktu \(C\), czyli \(h = 4\).

Pole trójkąta:
$$P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{-a}} \cdot 4 = \frac{8}{\sqrt{-a}}$$

## Wyznaczenie współczynnika \(a\)

Z warunku \(P = 8\):

$$\frac{8}{\sqrt{-a}} = 8$$

$$\frac{1}{\sqrt{-a}} = 1$$

$$\sqrt{-a} = 1$$

$$-a = 1$$

$$a = -1$$

## Odpowiedź

Wzór funkcji to:

$$f(x) = -(x - 1)^2 + 4$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp