---
route: /task/cke-2015-2023-pp-39
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-39
source: CKE 2015-2023 PP
category: Funkcja kwadratowa
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-39

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Funkcja kwadratowa \(f\), której miejscami zerowymi są liczby \(-2\) i \(4\), dla argumentu \(1\) przyjmuje wartość \(3\). Uzasadnij, że wykres funkcji \(f\) ma dwa punkty wspólne z prostą \(y=2\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że wykres ma dwa punkty wspólne z prostą \(y=2\), bo \(\Delta=12>0\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Wyznacza się wzór funkcji kwadratowej, a następnie wykażę, że równanie \(f(x) = 2\) ma dwa różne rozwiązania.

## Krok 1: Wyznaczenie wzoru funkcji

Skoro miejscami zerowymi są \(-2\) i \(4\), funkcję można zapisać w postaci iloczynowej:

$$f(x) = a(x + 2)(x - 4)$$

gdzie \(a \neq 0\).

## Krok 2: Wyznaczenie współczynnika \(a\)

Korzysta się z warunku \(f(1) = 3\):

$$f(1) = a(1 + 2)(1 - 4) = 3$$

$$a \cdot 3 \cdot (-3) = 3$$

$$-9a = 3$$

$$a = -\frac{1}{3}$$

Zatem:

$$f(x) = -\frac{1}{3}(x + 2)(x - 4)$$

## Krok 3: Rozwinięcie wzoru funkcji

$$f(x) = -\frac{1}{3}(x^2 - 4x + 2x - 8)$$

$$f(x) = -\frac{1}{3}(x^2 - 2x - 8)$$

$$f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{8}{3}$$

## Krok 4: Analiza równania \(f(x) = 2\)

Wykres funkcji \(f\) ma punkty wspólne z prostą \(y = 2\), gdy równanie \(f(x) = 2\) ma rozwiązania:

$$-\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{8}{3} = 2$$

$$-\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{8}{3} - 2 = 0$$

$$-\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{2}{3} = 0$$

Mnoży się przez \(-3\):

$$x^2 - 2x - 2 = 0$$

## Krok 5: Obliczenie wyróżnika

$$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$$

Ponieważ \(\Delta = 12 > 0\), równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

## Wniosek

Wykres funkcji \(f\) ma dokładnie **dwa punkty wspólne** z prostą \(y = 2\), ponieważ równanie \(f(x) = 2\) ma wyróżnik dodatni (\(\Delta = 12 > 0\)), co oznacza dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp