---
route: /task/cke-2015-2023-pp-38
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-38
source: CKE 2015-2023 PP
category: Funkcja kwadratowa
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-38

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Największa wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=a(x-2)^2-4\), gdzie \(a\ne 0\), w przedziale domkniętym \(\langle -4,-2\rangle \) jest równa \(12\). Wyznacz najmniejszą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -4,-2\rangle \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{28}{9}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Punktem wyjścia jest analiza postaci funkcji i jej własności.

# Analiza funkcji

Funkcja $$f(x) = a(x-2)^2 - 4$$

jest w postaci kanonicznej z wierzchołkiem w punkcie \(W = (2, -4)\).

**Rozważmy dwa przypadki:**

## Przypadek 1: \(a > 0\)

Parabola ma ramiona skierowane do góry, więc:
- wartość największa w przedziale \(\langle -4, -2 \rangle\) jest w punkcie **najbardziej oddalonym** od wierzchołka
- wartość najmniejsza jest w punkcie **najbliższym** wierzchołkowi

Wierzchołek jest w \(x = 2\), a przedział to \(\langle -4, -2 \rangle\).

Odległości od wierzchołka:
- \(|(-4) - 2| = 6\)
- \(|(-2) - 2| = 4\)

Największa wartość: \(f(-4) = a(-4-2)^2 - 4 = 36a - 4 = 12\)

$$36a - 4 = 12$$
$$36a = 16$$
$$a = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$$

Najmniejsza wartość: \(f(-2) = \frac{4}{9}(-2-2)^2 - 4 = \frac{4}{9} \cdot 16 - 4\)

$$f(-2) = \frac{64}{9} - 4 = \frac{64}{9} - \frac{36}{9} = \frac{28}{9}$$

## Przypadek 2: \(a  0\).

## Wniosek

Jedyne rozwiązanie: \(a = \frac{4}{9}\)

Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -4, -2 \rangle\) wynosi:

$$f(-2) = \frac{28}{9}$$

**Odpowiedź: \(\frac{28}{9}\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp