---
route: /task/cke-2015-2023-pp-36
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-36
source: CKE 2015-2023 PP
category: Funkcja kwadratowa
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-36

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+4x+1\). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem tej funkcji, leży na prostej o równaniu \(y=-5\). Oblicz współrzędne tego wierzchołka.

**Prawidłowa odpowiedź:** \((-3,-5)\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Szukamy współrzędnych wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji \(f(x) = ax^2 + 4x + 1\).

## Krok 1: Przypomnienie wzorów na współrzędne wierzchołka

Dla funkcji kwadratowej \(f(x) = ax^2 + bx + c\) współrzędne wierzchołka \(W = (p, q)\) dane są wzorami:

$$p = -\frac{b}{2a}$$

$$q = -\frac{\Delta}{4a} \text{ gdzie } \Delta = b^2 - 4ac$$

## Krok 2: Identyfikacja współczynników

W naszej funkcji:
- \(a = a\) (niewiadoma)
- \(b = 4\)
- \(c = 1\)

## Krok 3: Wykorzystanie warunku o prostej \(y = -5\)

Wiemy, że wierzchołek leży na prostej \(y = -5\), więc \(q = -5\).

Obliczamy wyróżnik:

$$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot a \cdot 1 = 16 - 4a$$

Zatem:

$$q = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{16-4a}{4a} = -5$$

## Krok 4: Rozwiązanie równania

$$-\frac{16-4a}{4a} = -5$$

$$\frac{16-4a}{4a} = 5$$

$$16 - 4a = 20a$$

$$16 = 24a$$

$$a = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$$

## Krok 5: Obliczenie współrzędnej \(p\)

$$p = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot \frac{2}{3}} = -\frac{4}{\frac{4}{3}} = -4 \cdot \frac{3}{4} = -3$$

## Krok 6: Sprawdzenie

Dla \(a = \frac{2}{3}\):

$$\Delta = 16 - 4 \cdot \frac{2}{3} = 16 - \frac{8}{3} = \frac{40}{3}$$

$$q = -\frac{\frac{40}{3}}{4 \cdot \frac{2}{3}} = -\frac{\frac{40}{3}}{\frac{8}{3}} = -\frac{40}{8} = -5$$ ✓

**Odpowiedź:** Współrzędne wierzchołka to \(W = (-3, -5)\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp