---
route: /task/cke-2015-2023-pp-35
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-35
source: CKE 2015-2023 PP
category: Funkcja kwadratowa
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-35

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\), przechodzi przez punkt \((-2,10)\) oraz \(f(-1)=f(3)=0\). Oblicz odległość wierzchołka paraboli od początku układu współrzędnych.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\sqrt{65}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Skoro \(f(-1) = f(3) = 0\), to liczby \(-1\) i \(3\) są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej.

## Krok 1: Postać iloczynowa funkcji

Funkcję kwadratową z miejscami zerowymi \(x_1 = -1\) i \(x_2 = 3\) zapisujemy w postaci iloczynowej:

$$f(x) = a(x + 1)(x - 3)$$

## Krok 2: Wyznaczenie współczynnika \(a\)

Wykorzystujemy warunek, że parabola przechodzi przez punkt \((-2, 10)\):

$$f(-2) = 10$$

$$a(-2 + 1)(-2 - 3) = 10$$

$$a \cdot (-1) \cdot (-5) = 10$$

$$5a = 10$$

$$a = 2$$

## Krok 3: Wzór funkcji

$$f(x) = 2(x + 1)(x - 3)$$

## Krok 4: Współrzędne wierzchołka

Dla funkcji kwadratowej z miejscami zerowymi \(x_1\) i \(x_2\), współrzędna \(x\) wierzchołka to:

$$x_w = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Współrzędna \(y\) wierzchołka:

$$y_w = f(1) = 2(1 + 1)(1 - 3) = 2 \cdot 2 \cdot (-2) = -8$$

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \(W = (1, -8)\).

## Krok 5: Odległość wierzchołka od początku układu

Odległość punktu \((1, -8)\) od punktu \((0, 0)\) obliczamy ze wzoru na odległość między dwoma punktami:

$$d = \sqrt{(1-0)^2 + (-8-0)^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}$$

**Odpowiedź:** \(\sqrt{65}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp