---
route: /task/cke-2015-2023-pp-34
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-34
source: CKE 2015-2023 PP
category: Funkcja kwadratowa
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-34

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykres funkcji kwadratowej \(f\) przecina oś \(Ox\) w punktach \(x=1\) oraz \(x=3\) i przechodzi przez punkt \((0,-3)\). Wykres ten przesunięto i otrzymano wykres funkcji kwadratowej \(g(x)=f(x-p)\). Wierzchołek funkcji \(g\) leży na osi \(Oy\). Wyznacz wzór funkcji \(g\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(g(x)=-x^2+1\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Punktem wyjścia jest wyznaczenie wzoru funkcji \(f\).

## Krok 1: Wyznaczenie wzoru funkcji \(f\)

Ponieważ wykres funkcji \(f\) przecina oś \(Ox\) w punktach \(x=1\) i \(x=3\), to:

$$f(x) = a(x-1)(x-3)$$

gdzie \(a \neq 0\).

## Krok 2: Wyznaczenie współczynnika \(a\)

Funkcja przechodzi przez punkt \((0,-3)\), więc \(f(0) = -3\):

$$f(0) = a(0-1)(0-3) = a \cdot (-1) \cdot (-3) = 3a$$

$$3a = -3$$

$$a = -1$$

Zatem:

$$f(x) = -(x-1)(x-3) = -(x^2 - 4x + 3) = -x^2 + 4x - 3$$

## Krok 3: Wyznaczenie wierzchołka funkcji \(f\)

Przekształca się do postaci kanonicznej:

$$f(x) = -x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x) - 3 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 3$$

$$f(x) = -(x-2)^2 + 4 - 3 = -(x-2)^2 + 1$$

Wierzchołek funkcji \(f\) to punkt \(W_f = (2, 1)\).

## Krok 4: Analiza przesunięcia

Funkcja \(g(x) = f(x-p)\) powstaje przez przesunięcie wykresu \(f\) o wektor \([p, 0]\).

Wierzchołek funkcji \(g\) to:

$$W_g = (2+p, 1)$$

## Krok 5: Warunek na wierzchołek funkcji \(g\)

Wierzchołek funkcji \(g\) leży na osi \(Oy\), więc jego pierwsza współrzędna wynosi 0:

$$2 + p = 0$$

$$p = -2$$

## Krok 6: Wyznaczenie wzoru funkcji \(g\)

$$g(x) = f(x-(-2)) = f(x+2)$$

Podstawia się do wzoru \(f\):

$$g(x) = f(x+2) = -((x+2)-2)^2 + 1 = -x^2 + 1$$

## Weryfikacja

- Wierzchołek \(g\): \(W_g = (0, 1)\) ✓ (leży na osi \(Oy\))
- \(g(x) = -x^2 + 1\) ✓

**Odpowiedź:** \(g(x) = -x^2 + 1\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp