---
route: /task/cke-2015-2023-pp-32
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-32
source: CKE 2015-2023 PP
category: Funkcje
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-32

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Funkcje
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wyznacz wartość największą funkcji \(f(x)=\frac{1}{x^2+4x-1}\) w przedziale \(\langle 1,3\rangle \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{1}{4}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Szukamy wartości największej funkcji \(f(x)=\frac{1}{x^2+4x-1}\) w przedziale \(\langle 1,3\rangle\).

## Krok 1: Analiza funkcji

Funkcja \(f(x)=\frac{1}{x^2+4x-1}\) jest ilorazem, gdzie licznik jest stały (równy 1). Wartość funkcji będzie największa, gdy mianownik \(g(x)=x^2+4x-1\) osiągnie wartość najmniejszą (przy założeniu, że mianownik jest dodatni).

## Krok 2: Badanie mianownika

Funkcja \(g(x)=x^2+4x-1\) jest parabolą o współczynniku przy \(x^2\) równym 1 > 0, więc ramiona paraboli skierowane są do góry.

Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie:
$$x_w = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$$

Ponieważ \(x_w = -2 \notin \langle 1,3\rangle\), a parabola ma minimum w \(x=-2\) i rośnie dla \(x > -2\), to w przedziale \(\langle 1,3\rangle\) funkcja \(g(x)\) jest rosnąca.

## Krok 3: Wartości na krańcach przedziału

Skoro \(g(x)\) rośnie w przedziale \(\langle 1,3\rangle\), to:
- najmniejsza wartość \(g(x)\) występuje dla \(x=1\)
- największa wartość \(g(x)\) występuje dla \(x=3\)

Obliczamy wartości:

Dla \(x=1\):
$$g(1) = 1^2 + 4 \cdot 1 - 1 = 1 + 4 - 1 = 4$$

Dla \(x=3\):
$$g(3) = 3^2 + 4 \cdot 3 - 1 = 9 + 12 - 1 = 20$$

## Krok 4: Wartości funkcji f(x)

Dla \(x=1\):
$$f(1) = \frac{1}{g(1)} = \frac{1}{4}$$

Dla \(x=3\):
$$f(3) = \frac{1}{g(3)} = \frac{1}{20}$$

## Krok 5: Porównanie wartości

Ponieważ \(\frac{1}{4} > \frac{1}{20}\), największa wartość funkcji \(f(x)\) w przedziale \(\langle 1,3\rangle\) wynosi:

$$\boxed{\frac{1}{4}}$$

i jest osiągana dla \(x=1\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcje
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp