---
route: /task/cke-2015-2023-pp-29
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-29
source: CKE 2015-2023 PP
category: Funkcja kwadratowa
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-29

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Na rysunku są przedstawione fragmenty wykresów funkcji kwadratowych \(f\) i \(g\). Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-x^2+6x-5\), a mniejsze z jej miejsc zerowych jest jednocześnie miejscem zerowym funkcji \(g\). Wierzchołek \(W\) paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), leży na wykresie funkcji \(g\), a wierzchołek \(Z\) paraboli będącej wykresem funkcji \(g\) leży na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Wyznacz wzór funkcji \(g\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(g(x)=\frac{1}{2}(x-1)(x+1)\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.

## Krok 1: Wyznacza się miejsca zerowe funkcji \(f\)

$$f(x) = -x^2 + 6x - 5 = 0$$

$$x^2 - 6x + 5 = 0$$

$$\Delta = 36 - 20 = 16$$

$$x_1 = \frac{6-4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6+4}{2} = 5$$

Mniejsze miejsce zerowe: \(x = 1\)

## Krok 2: Wyznacza się wierzchołek \(W\) paraboli funkcji \(f\)

$$p = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3$$

$$q = f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$$

Zatem \(W = (3, 4)\)

## Krok 3: Ustala się warunki dla funkcji \(g\)

Z treści zadania:
- Funkcja \(g\) ma miejsce zerowe w punkcie \(x = 1\)
- Punkt \(W = (3, 4)\) leży na wykresie funkcji \(g\)
- Wierzchołek \(Z\) paraboli funkcji \(g\) leży na osi \(Oy\), czyli \(Z = (0, z_0)\)

## Krok 4: Zapisuje się wzór funkcji \(g\) w postaci kanonicznej

Skoro wierzchołek leży na osi \(Oy\), to:

$$g(x) = a(x - 0)^2 + z_0 = ax^2 + z_0$$

## Krok 5: Wykorzystuje się warunek miejsca zerowego

$$g(1) = 0$$

$$a \cdot 1 + z_0 = 0$$

$$z_0 = -a$$

Zatem: \(g(x) = ax^2 - a = a(x^2 - 1)\)

## Krok 6: Wykorzystuje się warunek przejścia przez punkt \(W = (3, 4)\)

$$g(3) = 4$$

$$a(9 - 1) = 4$$

$$8a = 4$$

$$a = \frac{1}{2}$$

## Krok 7: Zapisuje się wzór funkcji \(g\)

$$g(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 1) = \frac{1}{2}(x-1)(x+1)$$

## Weryfikacja:
- \(g(1) = \frac{1}{2}(0)(2) = 0\) ✓
- \(g(3) = \frac{1}{2}(2)(4) = 4\) ✓
- Wierzchołek: \(Z = (0, -\frac{1}{2})\) leży na osi \(Oy\) ✓

**Odpowiedź:** \(g(x) = \frac{1}{2}(x-1)(x+1)\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp