---
route: /task/cke-2015-2023-pp-28
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-28
source: CKE 2015-2023 PP
category: Funkcja kwadratowa
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-28

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\) w postaci ogólnej, wiedząc, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \((-\infty ,-1\rangle \), a wartość \(-5\) osiąga ona dla dwóch argumentów: \(2\) i \(10\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(f(x)=-\frac{1}{4}x^2+3x-10\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Szukamy funkcji kwadratowej w postaci ogólnej \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

## Krok 1: Analiza zbioru wartości

Zbiór wartości to \((-\infty, -1]\), co oznacza:
- maksymalna wartość funkcji to \(-1\)
- funkcja przyjmuje wszystkie wartości mniejsze lub równe \(-1\)

Zatem ramiona paraboli są skierowane w dół, więc \(a < 0\), a wartość w wierzchołku wynosi:
$$y_w = -1$$

## Krok 2: Wyznaczenie osi symetrii

Funkcja przyjmuje wartość \(-5\) dla argumentów \(x_1 = 2\) i \(x_2 = 10\).

Punkty o tej samej wartości funkcji są symetryczne względem osi symetrii paraboli, więc:
$$p = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + 10}{2} = 6$$

## Krok 3: Postać kanoniczna funkcji

Z wierzchołkiem \(W = (6, -1)\) postać kanoniczna to:
$$f(x) = a(x - 6)^2 - 1$$

## Krok 4: Wyznaczenie parametru \(a\)

Korzystamy z warunku \(f(2) = -5\):
$$a(2 - 6)^2 - 1 = -5$$
$$a \cdot 16 - 1 = -5$$
$$16a = -4$$
$$a = -\frac{1}{4}$$

## Krok 5: Przekształcenie do postaci ogólnej

$$f(x) = -\frac{1}{4}(x - 6)^2 - 1$$

$$f(x) = -\frac{1}{4}(x^2 - 12x + 36) - 1$$

$$f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 3x - 9 - 1$$

$$f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 3x - 10$$

## Sprawdzenie

Sprawdźmy \(f(10) = -5\):
$$f(10) = -\frac{1}{4} \cdot 100 + 3 \cdot 10 - 10 = -25 + 30 - 10 = -5 \,\checkmark$$

**Odpowiedź:** \(f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 3x - 10\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp