---
route: /task/cke-2015-2023-pp-24
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-24
source: CKE 2015-2023 PP
category: Procenty
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-24

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Procenty
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Do napełniania basenu służą dwie pompy. Pierwsza z nich ma wydajność o \(20\%\) większą niż druga. Napełnienie pustego basenu tylko drugą pompą trwa o \(1\) godzinę i \(40\) minut dłużej niż przy użyciu tylko pierwszej pompy. Oblicz, jaką część pustego basenu napełnią w ciągu jednej godziny obie pompy, pracując jednocześnie.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{22}{100}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy:
- objętość basenu: \(V\)
- wydajność drugiej pompy: \(w\) (część basenu na godzinę)
- wydajność pierwszej pompy: \(1{,}2w\) (o 20% większa)

## Krok 1: Wyznaczenie czasów napełniania

Czas napełniania basenu drugą pompą:
$$t_2 = \frac{V}{w}$$

Czas napełniania basenu pierwszą pompą:
$$t_1 = \frac{V}{1{,}2w}$$

## Krok 2: Wykorzystanie warunku z treści

Napełnienie drugą pompą trwa o 1 godz. 40 min = \(\frac{5}{3}\) godz. dłużej:
$$t_2 = t_1 + \frac{5}{3}$$

Podstawiamy:
$$\frac{V}{w} = \frac{V}{1{,}2w} + \frac{5}{3}$$

## Krok 3: Rozwiązanie równania

$$\frac{V}{w} - \frac{V}{1{,}2w} = \frac{5}{3}$$

$$V\left(\frac{1}{w} - \frac{1}{1{,}2w}\right) = \frac{5}{3}$$

$$V\left(\frac{1{,}2 - 1}{1{,}2w}\right) = \frac{5}{3}$$

$$V \cdot \frac{0{,}2}{1{,}2w} = \frac{5}{3}$$

$$\frac{V}{w} \cdot \frac{0{,}2}{1{,}2} = \frac{5}{3}$$

$$\frac{V}{w} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{3}$$

$$\frac{V}{w} = 10$$

## Krok 4: Wyznaczenie wydajności obu pomp

Skoro \(\frac{V}{w} = 10\), to:
$$w = \frac{V}{10}$$

Wydajność pierwszej pompy:
$$1{,}2w = 1{,}2 \cdot \frac{V}{10} = \frac{1{,}2V}{10} = \frac{3V}{25}$$

## Krok 5: Obliczenie wydajności wspólnej

Obie pompy pracujące jednocześnie mają łączną wydajność:
$$w_{\text{łączna}} = w + 1{,}2w = 2{,}2w$$

$$w_{\text{łączna}} = 2{,}2 \cdot \frac{V}{10} = \frac{2{,}2V}{10} = \frac{22V}{100}$$

## Odpowiedź

W ciągu jednej godziny obie pompy napełnią \(\frac{22}{100}\) (czyli 22%) pustego basenu.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/procenty
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp