---
route: /task/cke-2015-2023-pp-20
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-20
source: CKE 2015-2023 PP
category: Funkcja kwadratowa
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-20

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W tabelce podano wartości funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\) dla wybranych trzech argumentów.

| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(6\) |
| --- | --- | --- | --- |
| \(f(x)\) | \(-2\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(-2\frac{1}{2}\) |

Rozwiąż nierówność \(f(x)\ge 0\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x\in \langle 1,5\rangle \)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Zapisuje się dane z tabeli w postaci wygodnej do obliczeń:

$$f(0) = -2\frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$$
$$f(1) = 0$$
$$f(6) = -\frac{5}{2}$$

**Krok 1: Wyznaczenie współczynników funkcji**

Z warunku \(f(0) = -\frac{5}{2}\):
$$c = -\frac{5}{2}$$

Z warunku \(f(1) = 0\):
$$a + b + c = 0$$
$$a + b - \frac{5}{2} = 0$$
$$a + b = \frac{5}{2} \quad \text{...(1)}$$

Z warunku \(f(6) = -\frac{5}{2}\):
$$36a + 6b + c = -\frac{5}{2}$$
$$36a + 6b - \frac{5}{2} = -\frac{5}{2}$$
$$36a + 6b = 0$$
$$6a + b = 0$$
$$b = -6a \quad \text{...(2)}$$

**Krok 2: Rozwiązanie układu równań**

Podstawia się (2) do (1):
$$a + (-6a) = \frac{5}{2}$$
$$-5a = \frac{5}{2}$$
$$a = -\frac{1}{2}$$

Z równania (2):
$$b = -6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 3$$

**Krok 3: Postać funkcji**

$$f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{5}{2}$$

**Krok 4: Znajdowanie miejsc zerowych**

Wiemy już, że \(f(1) = 0\). Wyznacza się drugie miejsce zerowe:

$$-\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{5}{2} = 0$$

Mnoży się przez \(-2\):
$$x^2 - 6x + 5 = 0$$

Korzysta się ze wzorów Viète'a lub rozkłada:
$$(x-1)(x-5) = 0$$

Miejsca zerowe: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 5\)

**Krok 5: Analiza znaku funkcji**

Funkcja \(f(x) = -\frac{1}{2}(x-1)(x-5)\)

Współczynnik \(a = -\frac{1}{2} < 0\), więc parabola ma ramiona skierowane w dół.

Funkcja jest nieujemna (\(f(x) \geq 0\)) pomiędzy miejscami zerowymi (włącznie):

$$f(x) \geq 0 \quad \text{dla} \quad x \in \langle 1, 5 \rangle$$

**Odpowiedź:** \(x \in \langle 1, 5 \rangle\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp