---
route: /task/cke-2015-2023-pp-18
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-18
source: CKE 2015-2023 PP
category: Układy równań
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-18

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Układy równań
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozwiązaniem układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest para różnych dodatnich liczb całkowitych. Jednym z równań tego układu jest \(2x+y=6\). Wyznacz drugie równanie układu, wiedząc, że jest to równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(y=4x\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Szukamy drugiego równania układu, które jest prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych.

## Krok 1: Forma drugiego równania

Prosta przechodząca przez początek ma postać:
$$y = ax$$
gdzie \(a\) jest współczynnikiem kierunkowym.

## Krok 2: Znajdowanie rozwiązania układu

Podstawiamy \(y = ax\) do równania \(2x + y = 6\):
$$2x + ax = 6$$
$$x(2 + a) = 6$$
$$x = \frac{6}{2 + a}$$

Następnie:
$$y = ax = a \cdot \frac{6}{2 + a} = \frac{6a}{2 + a}$$

## Krok 3: Warunki na rozwiązanie

Rozwiązanie to para **różnych dodatnich liczb całkowitych**, więc:
- \(x \in \mathbb{Z}_+\)
- \(y \in \mathbb{Z}_+\)
- \(x \neq y\)

Aby \(x = \frac{6}{2 + a}\) było dodatnią liczbą całkowitą, liczba \((2 + a)\) musi być dodatnim dzielnikiem 6.

Dzielniki 6: 1, 2, 3, 6

## Krok 4: Sprawdzenie możliwości

- Jeśli \(2 + a = 1\), to \(a = -1\), wtedy \(x = 6\), \(y = -6\) (nie jest dodatnie) ✗
- Jeśli \(2 + a = 2\), to \(a = 0\), wtedy \(x = 3\), \(y = 0\) (nie jest dodatnie) ✗
- Jeśli \(2 + a = 3\), to \(a = 1\), wtedy \(x = 2\), \(y = 2\) (nie są różne) ✗
- Jeśli \(2 + a = 6\), to \(a = 4\), wtedy \(x = 1\), \(y = 4\) ✓

## Krok 5: Weryfikacja

Dla \(a = 4\), równanie to \(y = 4x\).

Sprawdzamy rozwiązanie \((x, y) = (1, 4)\):
- \(2x + y = 2 \cdot 1 + 4 = 6\) ✓
- \(y = 4x\) czyli \(4 = 4 \cdot 1\) ✓
- Liczby 1 i 4 są różnymi dodatnimi liczbami całkowitymi ✓

**Odpowiedź:** \(y = 4x\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/uklady-rownan
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp