---
route: /task/cke-2015-2023-pp-17
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-17
source: CKE 2015-2023 PP
category: Układy równań
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-17

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Układy równań
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wyznacz takie liczby \(a\) i \(b\), dla których układ równań \(\begin{cases} 4x+y+2=0\\ax^2+y+b=0 \end{cases} \) jest sprzeczny, zaś układ równań \(\begin{cases} 4x+y-2=0\\b^2x+y+a=0 \end{cases}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a=-2\), \(b=-2\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Rozwiązuje się problem dla dwóch układów równań z warunkami na ich rozwiązalność.

## Analiza pierwszego układu (układ sprzeczny)

Układ:
$$\begin{cases} 4x+y+2=0\\ax^2+y+b=0 \end{cases}$$

Aby układ był **sprzeczny**, równania nie mogą mieć wspólnych rozwiązań.

Z pierwszego równania: \(y = -4x - 2\)

Podstawia się do drugiego równania:
$$ax^2 + (-4x - 2) + b = 0$$
$$ax^2 - 4x + (b - 2) = 0$$

Układ jest sprzeczny, gdy to równanie **nie ma rozwiązań**.

**Przypadek 1:** Jeśli \(a = 0\), otrzymuje się:
$$-4x + (b - 2) = 0$$

To równanie liniowe ma zawsze rozwiązanie (chyba że \(0 = b - 2\) i \(0 \neq 0\), co jest niemożliwe).

**Przypadek 2:** Jeśli \(a \neq 0\), równanie kwadratowe nie ma rozwiązań, gdy \(\Delta < 0\):
$$\Delta = 16 - 4a(b - 2) < 0$$
$$16 - 4ab + 8a < 0$$
$$4 + 2a - ab < 0$$

## Analiza drugiego układu (nieskończenie wiele rozwiązań)

Układ:
$$\begin{cases} 4x+y-2=0\\b^2x+y+a=0 \end{cases}$$

Aby układ miał **nieskończenie wiele rozwiązań**, oba równania muszą być identyczne (przedstawiać tę samą prostą).

Przepisuję równania w postaci \(y = ...\):
- Równanie 1: \(y = -4x + 2\)
- Równanie 2: \(y = -b^2x - a\)

Aby były identyczne:
$$-b^2 = -4 \quad \text{oraz} \quad -a = 2$$

Z pierwszego warunku:
$$b^2 = 4$$
$$b = 2 \quad \text{lub} \quad b = -2$$

Z drugiego warunku:
$$a = -2$$

## Weryfikacja warunku ze sprzeczności

Dane jest \(a = -2\). Sprawdza się warunek \(4 + 2a - ab < 0\):

**Dla \(b = 2\):**
$$4 + 2(-2) - (-2)(2) = 4 - 4 + 4 = 4 \not< 0$$
Warunek nie jest spełniony.

**Dla \(b = -2\):**
$$4 + 2(-2) - (-2)(-2) = 4 - 4 - 4 = -4 < 0$$
Warunek jest spełniony! ✓

## Odpowiedź

$$a = -2, \quad b = -2$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/uklady-rownan
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp