---
route: /task/cke-2015-2023-pp-14
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-14
source: CKE 2015-2023 PP
category: Logarytmy
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-14

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Logarytmy
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Uzasadnij, że dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich \(x\) różnych od \(\frac{1}{3}\) wartość wyrażenia \[\log_{3x}\bigl(3x^2\bigl)+\log_{3x}\bigl(9x\bigl)\] jest większa od \(2\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że wartość wyrażenia jest równa \(3\), czyli jest większa od \(2\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Musimy pokazać, że dla \(x > 0\) i \(x \neq \frac{1}{3}\) zachodzi:
$$\log_{3x}(3x^2) + \log_{3x}(9x) > 2$$

**Krok 1: Uproszczenie wyrażenia**

Korzysta się z własności logarytmów \(\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)\):

$$\log_{3x}(3x^2) + \log_{3x}(9x) = \log_{3x}(3x^2 \cdot 9x)$$

**Krok 2: Obliczenie iloczynu**

$$3x^2 \cdot 9x = 27x^3$$

Więc:
$$\log_{3x}(27x^3)$$

**Krok 3: Rozkład argumentu**

$$27x^3 = 27 \cdot x^3 = 3^3 \cdot x^3 = (3x)^3$$

Zatem:
$$\log_{3x}((3x)^3) = 3$$

**Krok 4: Weryfikacja warunków**

Musimy sprawdzić, kiedy podstawa logarytmu \(3x\) jest poprawna:
- \(3x > 0\) - spełnione, bo \(x > 0\)
- \(3x \neq 1\) - czyli \(x \neq \frac{1}{3}\) - spełnione z założenia

**Krok 5: Porównanie z 2**

Otrzymaliśmy, że wartość wyrażenia wynosi dokładnie \(3\).

Ponieważ:
$$3 > 2$$

**Wniosek:**

Dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich \(x\) różnych od \(\frac{1}{3}\) wartość wyrażenia \(\log_{3x}(3x^2) + \log_{3x}(9x)\) jest równa \(3\), a zatem jest większa od \(2\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/logarytmy
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp