---
route: /task/cke-2015-2023-pp-134
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-134
source: CKE 2015-2023 PP
category: Prawdopodobieństwo
points: 1
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-134

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Prawdopodobieństwo
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Ze zbioru wszystkich krawędzi (krawędzi bocznych i krawędzi podstawy) ostrosłupa prawidłowego pięciokątnego losujemy jedną krawędź, a następnie z pozostałych krawędzi losujemy drugą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane krawędzie będą miały wspólny wierzchołek.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{5}{9}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-134.png]

## Krok 2: Określenie liczby krawędzi ostrosłupa

Ostrosłup prawidłowy pięciokątny ma:
- podstawę w kształcie pięciokąta foremnego: **5 krawędzi**
- krawędzie boczne łączące wierzchołki podstawy ze szczytem: **5 krawędzi**

Łącznie: **10 krawędzi**

## Krok 3: Liczba wszystkich możliwych par krawędzi

Losujemy pierwszą krawędź (10 możliwości), następnie drugą spośród pozostałych (9 możliwości).

Liczba wszystkich uporządkowanych par krawędzi:
$$|\Omega| = 10 \cdot 9 = 90$$

## Krok 4: Analiza struktury wierzchołków

Ostrosłup ma:
- 5 wierzchołków podstawy (oznaczmy je \(A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\))
- 1 wierzchołek w szczycie (oznaczmy \(S\))

Łącznie: **6 wierzchołków**

## Krok 5: Ile krawędzi wychodzi z każdego wierzchołka?

- Z każdego wierzchołka podstawy \(A_i\) wychodzą **3 krawędzie**: 2 krawędzie podstawy (do sąsiednich wierzchołków) i 1 krawędź boczna (do \(S\))
- Ze szczytu \(S\) wychodzi **5 krawędzi** (wszystkie krawędzie boczne)

## Krok 6: Liczenie par krawędzi ze wspólnym wierzchołkiem

Dla każdej wylosowanej pierwszej krawędzi zliczmy, ile krawędzi ma z nią wspólny wierzchołek:

**Przypadek 1:** Pierwsza krawędź jest krawędzią podstawy (5 takich krawędzi)

Przykład: krawędź \(A_1A_2\) ma końce w \(A_1\) i \(A_2\).
- Z wierzchołka \(A_1\) wychodzą 3 krawędzie (w tym \(A_1A_2\))
- Z wierzchołka \(A_2\) wychodzą 3 krawędzie (w tym \(A_1A_2\))
- Krawędzi ze wspólnym wierzchołkiem: \(3 + 3 - 1 = 5\) (odejmujemy 1, bo \(A_1A_2\) policzyliśmy dwukrotnie)

Liczba uporządkowanych par: \(5 \cdot 5 = 25\)

**Przypadek 2:** Pierwsza krawędź jest krawędzią boczną (5 takich krawędzi)

Przykład: krawędź \(SA_1\) ma końce w \(S\) i \(A_1\).
- Z wierzchołka \(S\) wychodzi 5 krawędzi (w tym \(SA_1\))
- Z wierzchołka \(A_1\) wychodzą 3 krawędzie (w tym \(SA_1\))
- Krawędzi ze wspólnym wierzchołkiem: \(5 + 3 - 1 = 7\)

Liczba uporządkowanych par: \(5 \cdot 7 = 35\)

## Krok 7: Obliczenie prawdopodobieństwa

Liczba par ze wspólnym wierzchołkiem:
$$|A| = 25 + 35 = 60$$

Prawdopodobieństwo:
$$P(A) = \frac{60}{90} = \frac{2}{3}$$

Ups, otrzymano \(\frac{2}{3}\), a nie \(\frac{5}{9}\). Sprawdza się ponownie...

## Korekta: Dokładniejsze zliczanie

Z każdego wierzchołka \(A_i\) podstawy, wybierając krawędź wychodzącą z \(A_i\), pozostaje **2 inne krawędzie** z tego wierzchołka (bo jedna jest już wybrana).

Dla krawędzi podstawy \(A_iA_{i+1}\):
- z \(A_i\): pozostają 2 krawędzie
- z \(A_{i+1}\): pozostają 2 krawędzie
- razem: \(2 + 2 = 4\) krawędzie ze wspólnym wierzchołkiem

Dla krawędzi bocznej \(SA_i\):
- z \(S\): pozostają 4 krawędzie
- z \(A_i\): pozostają 2 krawędzie  
- razem: \(4 + 2 = 6\) krawędzi

$$|A| = 5 \cdot 4 + 5 \cdot 6 = 20 + 30 = 50$$

$$P(A) = \frac{50}{90} = \frac{5}{9}$$

**Odpowiedź: \(\frac{5}{9}\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/prawdopodobienstwo
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp