---
route: /task/cke-2015-2023-pp-132
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-132
source: CKE 2015-2023 PP
category: Prawdopodobieństwo
points: 1
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-132

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Prawdopodobieństwo
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Na rysunku jest przedstawiony trzynastokąt wypukły o kolejnych wierzchołkach od \(A_1\) do \(A_{13}\) oraz przekątna \(A_1A_8\) tego wielokąta. Spośród wszystkich \(65\) przekątnych tego wielokąta losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana przekątna będzie przecinała się z przekątną \(A_1A_8\) w punkcie leżącym wewnątrz trzynastokąta. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{6}{13}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.

## Dane i cel
- Trzynastokąt wypukły z wierzchołkami $A_1, A_2, \ldots, A_{13}$
- Dana przekątna $A_1A_8$
- Wszystkich przekątnych: 65
- Szuka się prawdopodobieństwa, że losowa przekątna przecina $A_1A_8$ wewnątrz wielokąta

## Krok 1: Warunek przecięcia przekątnych

Dwie przekątne $A_iA_j$ i $A_kA_l$ wypukłego wielokąta przecinają się wewnątrz wtedy i tylko wtedy, gdy wierzchołki $A_i, A_k, A_j, A_l$ występują w tej kolejności (cyklicznie) na obwodzie wielokąta.

## Krok 2: Analiza położenia wierzchołków względem $A_1A_8$

Przekątna $A_1A_8$ dzieli wierzchołki na:
- **Jeden koniec**: $A_1$ i $A_8$
- **Jedna strona**: $A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7$ (6 wierzchołków)
- **Druga strona**: $A_9, A_{10}, A_{11}, A_{12}, A_{13}$ (5 wierzchołków)

## Krok 3: Warunek przecięcia z $A_1A_8$

Przekątna $A_iA_j$ przecina się z $A_1A_8$ wewnątrz wielokąta wtedy i tylko wtedy, gdy:
- jeden z wierzchołków $A_i, A_j$ leży w zbiorze $\{A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7\}$
- drugi wierzchołek leży w zbiorze $\{A_9, A_{10}, A_{11}, A_{12}, A_{13}\}$

## Krok 4: Liczba przekątnych przecinających $A_1A_8$

Liczba takich przekątnych to liczba sposobów wybrania:
- jednego wierzchołka z pierwszej strony (6 możliwości)
- jednego wierzchołka z drugiej strony (5 możliwości)

$$\text{Liczba przecinających się przekątnych} = 6 \times 5 = 30$$

## Krok 5: Obliczenie prawdopodobieństwa

$$P = \frac{\text{liczba przekątnych przecinających } A_1A_8}{\text{liczba wszystkich przekątnych}} = \frac{30}{65}$$

## Krok 6: Skracanie ułamka

$$\frac{30}{65} = \frac{30 : 5}{65 : 5} = \frac{6}{13}$$

Sprawdza się, czy $\frac{6}{13}$ jest nieskracalny:
- $\text{NWD}(6, 13) = 1$ (13 jest liczbą pierwszą, a $13 \nmid 6$)

**Odpowiedź:** $\frac{6}{13}$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/prawdopodobienstwo
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp