---
route: /task/cke-2015-2023-pp-131
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-131
source: CKE 2015-2023 PP
category: Ciągi
points: 1
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-131

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wszystkie losy loterii fantowej zostały ponumerowane kolejno od numeru \(10000\) do numeru \(99999\). Te losy, którym nadano numery o sumie cyfr równej trzy, są wygrywające, pozostałe losy są przegrywające. Na tej loterii będziemy losować jeden los. Oblicz prawdopodobieństwo wyciągnięcia losu przegrywającego. Wynik przedstaw w postaci ułamka dziesiętnego w przybliżeniu do czwartego miejsca po przecinku.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(0{,}9998\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.

## Krok 1: Ustalenie liczby wszystkich losów

Losy są ponumerowane od \(10000\) do \(99999\).

Liczba wszystkich losów:
$$99999 - 10000 + 1 = 90000$$

## Krok 2: Znalezienie losów wygrywających

Los wygrywa, gdy suma jego cyfr wynosi 3.

Numery mają postać \(\overline{abcde}\), gdzie \(a \in \{1, 2, \ldots, 9\}\) (pierwsza cyfra nie może być 0), a \(b, c, d, e \in \{0, 1, 2, \ldots, 9\}\).

Szukamy liczb pięciocyfrowych, gdzie:
$$a + b + c + d + e = 3$$

przy czym \(a \geq 1\).

## Krok 3: Wyliczenie możliwości

Ponieważ \(a \geq 1\) i suma wszystkich cyfr to 3, mamy następujące przypadki:

**Przypadek 1:** \(a = 1\), więc \(b + c + d + e = 2\)

Liczba nieujemnych całkowitych rozwiązań równania \(b + c + d + e = 2\):
$$\binom{2 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{5}{3} = 10$$

**Przypadek 2:** \(a = 2\), więc \(b + c + d + e = 1\)

Liczba rozwiązań:
$$\binom{1 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{4}{3} = 4$$

**Przypadek 3:** \(a = 3\), więc \(b + c + d + e = 0\)

Jedyne rozwiązanie: \(b = c = d = e = 0\), czyli 1 możliwość.

**Przypadek 4:** \(a \geq 4\)

Suma cyfr przekroczyłaby 3, więc brak rozwiązań.

## Krok 4: Suma losów wygrywających

$$10 + 4 + 1 = 15$$

## Krok 5: Liczba losów przegrywających

$$90000 - 15 = 89985$$

## Krok 6: Prawdopodobieństwo losu przegrywającego

$$P(\text{przegrywający}) = \frac{89985}{90000} = \frac{17997}{18000} = 0,99983\overline{3}$$

Zaokrąglając do czwartego miejsca po przecinku:

$$P(\text{przegrywający}) \approx 0{,}9998$$

**Odpowiedź:** \(0{,}9998\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp