---
route: /task/cke-2015-2023-pp-129
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-129
source: CKE 2015-2023 PP
category: Kombinatoryka
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-129

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Kombinatoryka
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Ile jest wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych, w zapisie których każda cyfra jest inna, żadna nie jest zerem oraz jedną z cyfr jest dziewiątka?

## Odpowiedzi

- **A.** \( 56 \)
- **B.** \( 168 \)
- **C.** \( 216 \)
- **D.** \( 504 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Trzeba znaleźć wszystkie trzycyfrowe liczby, gdzie:
- każda cyfra jest inna
- żadna cyfra nie jest zerem
- jedna z cyfr to dziewiątka

**Krok 1: Dostępne cyfry**

Cyfry do wykorzystania: \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) - czyli 9 cyfr.

**Krok 2: Podział na przypadki według pozycji dziewiątki**

Dziewiątka może być na trzech pozycjach:
- pozycja setek
- pozycja dziesiątek  
- pozycja jedności

**Przypadek 1: Dziewiątka na pozycji setek**

Liczba ma postać: \( 9ab \)

- Pierwsza cyfra: 9 (ustalona)
- Druga cyfra: wybieramy z pozostałych 8 cyfr \( \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \)
- Trzecia cyfra: wybieramy z pozostałych 7 cyfr (różna od 9 i od drugiej cyfry)

Liczba możliwości: \( 1 \cdot 8 \cdot 7 = 56 \)

**Przypadek 2: Dziewiątka na pozycji dziesiątek**

Liczba ma postać: \( a9b \)

- Pierwsza cyfra: wybieramy z 8 cyfr \( \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \)
- Druga cyfra: 9 (ustalona)
- Trzecia cyfra: wybieramy z pozostałych 7 cyfr (różna od 9 i od pierwszej cyfry)

Liczba możliwości: \( 8 \cdot 1 \cdot 7 = 56 \)

**Przypadek 3: Dziewiątka na pozycji jedności**

Liczba ma postać: \( ab9 \)

- Pierwsza cyfra: wybieramy z 8 cyfr \( \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \)
- Druga cyfra: wybieramy z pozostałych 7 cyfr (różna od 9 i od pierwszej cyfry)
- Trzecia cyfra: 9 (ustalona)

Liczba możliwości: \( 8 \cdot 7 \cdot 1 = 56 \)

**Krok 3: Suma wszystkich przypadków**

$$56 + 56 + 56 = 168$$

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/kombinatoryka
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp