---
route: /task/cke-2015-2023-pp-128
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-128
source: CKE 2015-2023 PP
category: Kombinatoryka
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-128

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Kombinatoryka
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Liczb naturalnych trzycyfrowych, w zapisie których każda cyfra występuje co najwyżej raz oraz suma cyfry setek i cyfry jedności jest równa \(4\), jest

## Odpowiedzi

- **A.** mniej niż \( 24 \)
- **B.** dokładnie \( 24 \)
- **C.** dokładnie \( 32 \)
- **D.** więcej niż \( 32 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Szukamy liczb trzycyfrowych postaci \(\overline{abc}\), gdzie:
- \(a \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) (cyfra setek nie może być zerem)
- \(b \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) (cyfra dziesiątek)
- \(c \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) (cyfra jedności)
- wszystkie cyfry są różne
- \(a + c = 4\)

**Krok 1: Znajdźmy możliwe pary \((a,c)\)**

Ponieważ \(a + c = 4\) i \(a \geq 1\), mamy:

- \(a = 1, c = 3\)
- \(a = 2, c = 2\) - odrzucamy (cyfry muszą być różne)
- \(a = 3, c = 1\)
- \(a = 4, c = 0\)

Mamy więc **3 pary**: \((1,3)\), \((3,1)\), \((4,0)\)

**Krok 2: Dla każdej pary obliczmy liczbę możliwych cyfr dziesiątek \(b\)**

Cyfra \(b\) musi być różna od \(a\) i \(c\).

**Dla pary \((1,3)\):**
- \(b\) może być dowolną cyfrą z \(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) oprócz \(1\) i \(3\)
- Liczba możliwości: \(10 - 2 = 8\)

**Dla pary \((3,1)\):**
- \(b\) może być dowolną cyfrą oprócz \(3\) i \(1\)
- Liczba możliwości: \(10 - 2 = 8\)

**Dla pary \((4,0)\):**
- \(b\) może być dowolną cyfrą oprócz \(4\) i \(0\)
- Liczba możliwości: \(10 - 2 = 8\)

**Krok 3: Obliczmy całkowitą liczbę liczb**

Łączna liczba liczb trzycyfrowych spełniających warunki:

$$3 \times 8 = 24$$

Odpowiedź: **B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/kombinatoryka
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp