---
route: /task/cke-2015-2023-pp-126
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-126
source: CKE 2015-2023 PP
category: Kombinatoryka
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-126

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Kombinatoryka
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Wszystkich par \((a,b)\) takich, że \(a\in \{1,2,3,4,5,6,7\}\) i \(b\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) oraz suma \(a+b\) jest podzielna przez \(3\), jest

## Odpowiedzi

- **A.** mniej niż \( 21 \)
- **B.** dokładnie \( 21 \)
- **C.** dokładnie \( 22 \)
- **D.** więcej niż \( 22 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Trzeba znaleźć wszystkie pary \((a,b)\), gdzie \(a \in \{1,2,3,4,5,6,7\}\), \(b \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) oraz \(a+b \equiv 0 \pmod{3}\).

**Krok 1: Klasyfikacja liczb według reszt modulo 3**

Podzielę zbiory na klasy równoważności modulo 3:

Dla zbioru \(a\):
- Reszta 0: brak elementów
- Reszta 1: \(\{1, 4, 7\}\) - 3 elementy
- Reszta 2: \(\{2, 5\}\) - 2 elementy
- Reszta 0: \(\{3, 6\}\) - 2 elementy

Dla zbioru \(b\):
- Reszta 0: \(\{3, 6, 9\}\) - 3 elementy
- Reszta 1: \(\{1, 4, 7\}\) - 3 elementy
- Reszta 2: \(\{2, 5, 8\}\) - 3 elementy

**Krok 2: Warunek podzielności przez 3**

Suma \(a+b\) jest podzielna przez 3, gdy:
$$a + b \equiv 0 \pmod{3}$$

To zachodzi w trzech przypadkach:
- \(a \equiv 0 \pmod{3}\) i \(b \equiv 0 \pmod{3}\)
- \(a \equiv 1 \pmod{3}\) i \(b \equiv 2 \pmod{3}\)
- \(a \equiv 2 \pmod{3}\) i \(b \equiv 1 \pmod{3}\)

**Krok 3: Obliczenie liczby par**

**Przypadek 1:** \(a \equiv 0 \pmod{3}\) i \(b \equiv 0 \pmod{3}\)

Liczba par: \(2 \times 3 = 6\)

**Przypadek 2:** \(a \equiv 1 \pmod{3}\) i \(b \equiv 2 \pmod{3}\)

Liczba par: \(3 \times 3 = 9\)

**Przypadek 3:** \(a \equiv 2 \pmod{3}\) i \(b \equiv 1 \pmod{3}\)

Liczba par: \(2 \times 3 = 6\)

**Krok 4: Suma wszystkich par**

Łączna liczba par:
$$6 + 9 + 6 = 21$$

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/kombinatoryka
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp