---
route: /task/cke-2015-2023-pp-125
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-125
source: CKE 2015-2023 PP
category: Statystyka
points: 1
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-125

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Statystyka
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Adam otrzymał z trzech kolejnych klasówek następujące oceny: \(6\), \(4\), \(4\). Oblicz, jaką ocenę otrzymał Adam z czwartej klasówki, jeżeli odchylenie standardowe otrzymanych ocen jest równe \(\sqrt{\frac{11}{16}}\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(5\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy ocenę z czwartej klasówki jako \(x\).

**Krok 1: Wypisanie danych**

Oceny: \(6, 4, 4, x\)

Odchylenie standardowe: \(\sigma = \sqrt{\frac{11}{16}}\)

**Krok 2: Obliczenie średniej arytmetycznej**

$$\bar{x} = \frac{6 + 4 + 4 + x}{4} = \frac{14 + x}{4}$$

**Krok 3: Wzór na odchylenie standardowe**

Odchylenie standardowe obliczamy ze wzoru:

$$\sigma = \sqrt{\frac{(6-\bar{x})^2 + (4-\bar{x})^2 + (4-\bar{x})^2 + (x-\bar{x})^2}{4}}$$

**Krok 4: Podstawienie do wzoru**

$$\sqrt{\frac{11}{16}} = \sqrt{\frac{(6-\bar{x})^2 + 2(4-\bar{x})^2 + (x-\bar{x})^2}{4}}$$

Podnosimy obie strony do kwadratu:

$$\frac{11}{16} = \frac{(6-\bar{x})^2 + 2(4-\bar{x})^2 + (x-\bar{x})^2}{4}$$

$$\frac{11}{4} = (6-\bar{x})^2 + 2(4-\bar{x})^2 + (x-\bar{x})^2$$

**Krok 5: Podstawienie \(\bar{x} = \frac{14+x}{4}\)**

Wyrażamy odchylenia od średniej:

- \(6 - \bar{x} = 6 - \frac{14+x}{4} = \frac{24-14-x}{4} = \frac{10-x}{4}\)
- \(4 - \bar{x} = 4 - \frac{14+x}{4} = \frac{16-14-x}{4} = \frac{2-x}{4}\)
- \(x - \bar{x} = x - \frac{14+x}{4} = \frac{4x-14-x}{4} = \frac{3x-14}{4}\)

**Krok 6: Podstawienie do równania**

$$\frac{11}{4} = \left(\frac{10-x}{4}\right)^2 + 2\left(\frac{2-x}{4}\right)^2 + \left(\frac{3x-14}{4}\right)^2$$

$$\frac{11}{4} = \frac{(10-x)^2 + 2(2-x)^2 + (3x-14)^2}{16}$$

$$44 = (10-x)^2 + 2(2-x)^2 + (3x-14)^2$$

**Krok 7: Rozwinięcie kwadratów**

- \((10-x)^2 = 100 - 20x + x^2\)
- \((2-x)^2 = 4 - 4x + x^2\)
- \((3x-14)^2 = 9x^2 - 84x + 196\)

$$44 = 100 - 20x + x^2 + 2(4 - 4x + x^2) + 9x^2 - 84x + 196$$

$$44 = 100 - 20x + x^2 + 8 - 8x + 2x^2 + 9x^2 - 84x + 196$$

$$44 = 12x^2 - 112x + 304$$

**Krok 8: Rozwiązanie równania kwadratowego**

$$12x^2 - 112x + 260 = 0$$

$$3x^2 - 28x + 65 = 0$$

$$\Delta = 784 - 780 = 4$$

$$x = \frac{28 \pm 2}{6}$$

$$x = 5 \quad \text{lub} \quad x = \frac{13}{3}$$

Ponieważ oceny są liczbami naturalnymi (w skali 1-6), wybieramy \(x = 5\).

**Odpowiedź: 5**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/statystyka
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp