---
route: /task/cke-2015-2023-pp-124
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-124
source: CKE 2015-2023 PP
category: Statystyka
points: 1
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-124

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Statystyka
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Zestaw danych: \(x_1,x_2,x_3,...,x_n\) ma średnią arytmetyczną \(a\) i odchylenie standardowe \(s\). Wykaż, że zestaw danych: \(\frac{x_1-a}{s}, \frac{x_2-a}{s}, \frac{x_3-a}{s},...,\frac{x_n-a}{s}\) ma średnią arytmetyczną \(0\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że średnia arytmetyczna jest równa \(0\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy nowy zestaw danych jako \(y_1, y_2, y_3, ..., y_n\), gdzie:

$$y_i = \frac{x_i - a}{s} \text{ dla } i = 1, 2, 3, ..., n$$

**Obliczenie średniej arytmetycznej nowego zestawu:**

Średnia arytmetyczna zestawu \(y_1, y_2, ..., y_n\) wynosi:

$$\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i - a}{s}$$

**Wykorzystanie własności sumy:**

$$\bar{y} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{s} \sum_{i=1}^{n} (x_i - a)$$

$$\bar{y} = \frac{1}{ns} \sum_{i=1}^{n} (x_i - a)$$

**Rozwinięcie sumy:**

$$\bar{y} = \frac{1}{ns} \left(\sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} a\right)$$

$$\bar{y} = \frac{1}{ns} \left(\sum_{i=1}^{n} x_i - na\right)$$

**Wykorzystanie definicji średniej arytmetycznej:**

Z definicji wiemy, że \(a = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\), czyli:

$$\sum_{i=1}^{n} x_i = na$$

**Podstawienie:**

$$\bar{y} = \frac{1}{ns}(na - na) = \frac{1}{ns} \cdot 0 = 0$$

**Wniosek:**

Średnia arytmetyczna zestawu danych \(\frac{x_1-a}{s}, \frac{x_2-a}{s}, ..., \frac{x_n-a}{s}\) wynosi \(0\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/statystyka
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp