---
route: /task/cke-2015-2023-pp-122
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-122
source: CKE 2015-2023 PP
category: Liczby rzeczywiste
points: 1
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-122

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest zbiór \(A=\{1,2,...,2n,2n+1\}\), gdzie \(n\ge 1\), złożony z \(2n+1\) kolejnych liczb naturalnych. Wykaż, że liczba wszystkich par \((a,b)\) takich, że \(a\in A\), \(b\in A\) i \(a\ne b\) oraz suma \(a+b\) jest nieparzysta, jest większa od liczby par, których suma jest parzysta.

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że par o sumie nieparzystej jest więcej

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy przez $N$ liczbę par o sumie nieparzystej, a przez $P$ liczbę par o sumie parzystej.

## Krok 1: Analiza parzystości elementów zbioru $A$

Zbiór $A = \{1, 2, 3, ..., 2n, 2n+1\}$ zawiera $2n+1$ kolejnych liczb naturalnych.

Liczby nieparzyste w $A$: $1, 3, 5, ..., 2n+1$ - jest ich $n+1$

Liczby parzyste w $A$: $2, 4, 6, ..., 2n$ - jest ich $n$

## Krok 2: Warunki na parzystość sumy

Suma $a+b$ jest nieparzysta $\Leftrightarrow$ jedna z liczb jest parzysta, a druga nieparzysta

Suma $a+b$ jest parzysta $\Leftrightarrow$ obie liczby są parzyste lub obie są nieparzyste

## Krok 3: Obliczenie liczby par o sumie nieparzystej

Aby suma była nieparzysta, musimy wybrać:
- jedną liczbę nieparzystą (spośród $n+1$ liczb) oraz
- jedną liczbę parzystą (spośród $n$ liczb)

Ponieważ pary są uporządkowane $(a,b)$ z warunkiem $a \neq b$:

$$N = (n+1) \cdot n + n \cdot (n+1) = 2n(n+1)$$

## Krok 4: Obliczenie liczby par o sumie parzystej

**Przypadek 1:** Obie liczby nieparzyste

Wybieramy 2 różne liczby z $n+1$ nieparzystych, z uwzględnieniem kolejności:
$$P_1 = (n+1) \cdot n$$

**Przypadek 2:** Obie liczby parzyste

Wybieramy 2 różne liczby z $n$ parzystych, z uwzględnieniem kolejności:
$$P_2 = n \cdot (n-1)$$

Zatem:
$$P = (n+1)n + n(n-1) = n(n+1+n-1) = n \cdot 2n = 2n^2$$

## Krok 5: Porównanie $N$ i $P$

Musimy wykazać, że $N > P$:

$$N - P = 2n(n+1) - 2n^2 = 2n^2 + 2n - 2n^2 = 2n$$

Ponieważ $n \geq 1$, to:
$$N - P = 2n \geq 2 > 0$$

Zatem $N > P$, co kończy dowód.

## Podsumowanie

Liczba par o sumie nieparzystej ($N = 2n(n+1)$) jest większa od liczby par o sumie parzystej ($P = 2n^2$) o dokładnie $2n$, co wynika z tego, że w zbiorze $A$ jest o jedną więcej liczb nieparzystych niż parzystych.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp