---
route: /task/cke-2015-2023-pp-121
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-121
source: CKE 2015-2023 PP
category: Statystyka
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-121

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Statystyka
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Wykonano pomiary wysokości czterech krzeseł i każde dwa rezultaty były różne. Adam zapisał wyniki w metrach i odchylenie standardowe jego danych było równe \(\sigma _A\). Bogdan zapisał te wyniki w centymetrach i odchylenie standardowe jego danych było równe \(\sigma _B\). Wynika stąd, że

## Odpowiedzi

- **A.** \( \sigma _A=10\sigma _B \)
- **B.** \( \sigma _A = 100\sigma _B \)
- **C.** \( 10\sigma _A=\sigma _B \)
- **D.** \( 100\sigma _A=\sigma _B \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy wyniki pomiarów Adama (w metrach) jako: \(x_1, x_2, x_3, x_4\).

**Krok 1: Pomiary Adama**

Odchylenie standardowe danych Adama:
$$\sigma_A = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{4}(x_i - \bar{x})^2}$$

gdzie \(\bar{x}\) to średnia pomiarów w metrach.

**Krok 2: Pomiary Bogdana**

Bogdan zapisał te same wyniki w centymetrach. Ponieważ \(1 \text{ m} = 100 \text{ cm}\), jego pomiary to:
$$y_i = 100x_i \text{ dla } i = 1, 2, 3, 4$$

**Krok 3: Średnia pomiarów Bogdana**

$$\bar{y} = \frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}y_i = \frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}100x_i = 100 \cdot \frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}x_i = 100\bar{x}$$

**Krok 4: Odchylenie standardowe Bogdana**

$$\sigma_B = \sqrt{\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}(y_i - \bar{y})^2}$$

Podstawiamy \(y_i = 100x_i\) i \(\bar{y} = 100\bar{x}\):

$$\sigma_B = \sqrt{\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}(100x_i - 100\bar{x})^2}$$

$$\sigma_B = \sqrt{\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}100^2(x_i - \bar{x})^2}$$

$$\sigma_B = \sqrt{100^2 \cdot \frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}(x_i - \bar{x})^2}$$

$$\sigma_B = 100\sqrt{\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}(x_i - \bar{x})^2}$$

$$\sigma_B = 100\sigma_A$$

**Wniosek:**

Mnożąc wszystkie dane przez stałą \(c\), odchylenie standardowe również mnoży się przez \(|c|\). Zatem:

$$100\sigma_A = \sigma_B$$

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/statystyka
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp