---
route: /task/cke-2015-2023-pp-120
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-120
source: CKE 2015-2023 PP
category: Prawdopodobieństwo
points: 1
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-120

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Prawdopodobieństwo
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W pojemniku jest \(10\) kul, w tym \(b\) kul białych i \(10-b\) kul czarnych, gdzie \(b\ne 5\). Z tego pojemnika losujemy dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem. Wykaż, że prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy dwie kule tego samego koloru, jest większe od \(\frac{1}{2}\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że prawdopodobieństwo jest większe od \(\frac{1}{2}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy liczbę kul białych jako \(b\), a liczbę kul czarnych jako \(10-b\), gdzie \(b \in \{0, 1, 2, \ldots, 10\}\) i \(b \neq 5\).

**Krok 1: Prawdopodobieństwa wylosowania poszczególnych kolorów**

Przy jednym losowaniu:
- prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej: \(P(B) = \frac{b}{10}\)
- prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej: \(P(C) = \frac{10-b}{10}\)

**Krok 2: Prawdopodobieństwo zdarzenia "dwie kule tego samego koloru"**

Zdarzenie to zachodzi, gdy:
- wylosujemy dwie białe kule, lub
- wylosujemy dwie czarne kule

Ponieważ losujemy ze zwracaniem, losowania są niezależne:

$$P(\text{ten sam kolor}) = P(BB) + P(CC)$$

$$P(\text{ten sam kolor}) = P(B) \cdot P(B) + P(C) \cdot P(C)$$

$$P(\text{ten sam kolor}) = \left(\frac{b}{10}\right)^2 + \left(\frac{10-b}{10}\right)^2$$

**Krok 3: Przekształcenie wyrażenia**

$$P(\text{ten sam kolor}) = \frac{b^2 + (10-b)^2}{100}$$

Rozwijamy \((10-b)^2\):

$$P(\text{ten sam kolor}) = \frac{b^2 + 100 - 20b + b^2}{100} = \frac{2b^2 - 20b + 100}{100}$$

**Krok 4: Wykazanie nierówności**

Musimy pokazać, że \(\frac{2b^2 - 20b + 100}{100} > \frac{1}{2}\)

$$2b^2 - 20b + 100 > 50$$

$$2b^2 - 20b + 50 > 0$$

$$b^2 - 10b + 25 > 0$$

$$(b-5)^2 > 0$$

**Krok 5: Wnioskowanie**

Nierówność \((b-5)^2 > 0\) jest prawdziwa dla wszystkich \(b \neq 5\).

Ponieważ z założenia zadania \(b \neq 5\), nierówność jest spełniona, co oznacza, że:

$$P(\text{ten sam kolor}) > \frac{1}{2}$$

Co należało wykazać. ∎

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/prawdopodobienstwo
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp