---
route: /task/cke-2015-2023-pp-12
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-12
source: CKE 2015-2023 PP
category: Procenty
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-12

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Procenty
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Autobus nazywamy przepełnionym, jeżeli w pewnym momencie znajduje się w nim co najmniej \(50\) pasażerów. Dwóch inspektorów monitoruje liczbę pasażerów w tych samych dziesięciu autobusach. Jeden z nich obliczył, jaki procent wszystkich autobusów stanowią autobusy przepełnione, a drugi - jaki procent wszystkich pasażerów w \(10\) autobusach stanowili pasażerowie podróżujący przepełnionymi pojazdami. Wiadomo, że liczba autobusów przepełnionych należy do zbioru \(\{1,2,...,9\}\). Który z inspektorów otrzymał większą liczbę?

**Prawidłowa odpowiedź:** drugi inspektor

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczymy:
- $$k$$ - liczba autobusów przepełnionych, gdzie $$k \in \{1, 2, ..., 9\}$$
- $$10 - k$$ - liczba autobusów nieprzepełnionych

## Inspektor pierwszy

Oblicza procent autobusów przepełnionych:
$$P_1 = \frac{k}{10} \cdot 100\% = 10k\%$$

## Inspektor drugi

Oblicza procent pasażerów w autobusach przepełnionych.

Oznaczmy:
- $$n_i$$ - liczba pasażerów w $$i$$-tym autobusie przepełnionym ($$n_i \geq 50$$)
- $$m_j$$ - liczba pasażerów w $$j$$-tym autobusie nieprzepełnionym ($$m_j  P_1$$ jest równoważny:
$$\frac{S}{S+T} > \frac{k}{10}$$

Przekształcamy:
$$10S > k(S+T)$$
$$10S > kS + kT$$
$$10S - kS > kT$$
$$S(10-k) > kT$$
$$\frac{S}{k} > \frac{T}{10-k}$$

## Interpretacja

Lewa strona $$\frac{S}{k}$$ to **średnia liczba pasażerów w autobusie przepełnionym**.

Prawa strona $$\frac{T}{10-k}$$ to **średnia liczba pasażerów w autobusie nieprzepełnionym**.

## Analiza nierówności

**W autobusach przepełnionych:** każdy ma co najmniej 50 pasażerów, więc:
$$\frac{S}{k} \geq 50$$

**W autobusach nieprzepełnionych:** każdy ma mniej niż 50 pasażerów, więc:
$$\frac{T}{10-k}  \frac{T}{10-k}$$

nierówność $$\frac{S}{k} > \frac{T}{10-k}$$ jest **zawsze spełniona** dla $$k \in \{1, 2, ..., 9\}$$.

Zatem $$P_2 > P_1$$, co oznacza, że **drugi inspektor otrzymał większą liczbę**.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/procenty
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp