---
route: /task/cke-2015-2023-pp-119
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-119
source: CKE 2015-2023 PP
category: Geometria analityczna
points: 1
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-119

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Niech prosta \(k\) będzie dana równaniem \(y=2x+1\). Uzasadnij, że jej obrazem w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest prosta do niej równoległa.

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że obraz prostej jest do niej równoległy

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Rozważamy prostą \(k: y = 2x + 1\).

## Krok 1: Wzór na symetrię środkową względem początku układu

Symetria środkowa \(S_O\) względem punktu \(O(0,0)\) przekształca punkt \(P(x, y)\) na punkt \(P'(x', y')\) według wzoru:
$$x' = -x, \quad y' = -y$$

## Krok 2: Znajdźmy równanie obrazu prostej \(k\)

Niech punkt \(P(x, y)\) leży na prostej \(k\), czyli spełnia \(y = 2x + 1\).

Jego obraz \(P'(x', y')\) w symetrii \(S_O\) ma współrzędne:
$$x' = -x, \quad y' = -y$$

Z tego wynika:
$$x = -x', \quad y = -y'$$

## Krok 3: Podstawmy do równania prostej \(k\)

Ponieważ punkt \(P(x, y)\) należy do \(k\), to:
$$y = 2x + 1$$

Podstawiając \(x = -x'\) i \(y = -y'\):
$$-y' = 2(-x') + 1$$
$$-y' = -2x' + 1$$

Mnożymy obie strony przez \(-1\):
$$y' = 2x' - 1$$

## Krok 4: Równanie obrazu prostej

Obraz prostej \(k\) w symetrii \(S_O\) ma równanie:
$$y = 2x - 1$$

(pomijamy prim dla uproszczenia zapisu)

## Krok 5: Uzasadnienie równoległości

Prosta \(k\): \(y = 2x + 1\) ma **współczynnik kierunkowy** \(a_k = 2\)

Obraz prostej \(k'\): \(y = 2x - 1\) ma **współczynnik kierunkowy** \(a_{k'} = 2\)

Ponieważ \(a_k = a_{k'} = 2\) i proste mają różne wyrazy wolne (\(1 \neq -1\)), to:

**Proste są równoległe (i różne).**

---

**Wniosek:** Obraz prostej \(k\) w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest prostą o tym samym współczynniku kierunkowym, a zatem prostą do niej równoległą.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp