---
route: /task/cke-2015-2023-pp-117
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-117
source: CKE 2015-2023 PP
category: Geometria analityczna
points: 1
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-117

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Na płaszczyźnie dane są trzy punkty: \(A=(-1,1)\), \(B=(5,-3)\) oraz \(C=(3,2)\). Wyznacz równanie środkowej poprowadzonej do boku \(AB\) w trójkącie \(ABC\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(y=3x-7\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek z środkiem przeciwległego boku.

Środkowa do boku \(AB\) jest poprowadzona z wierzchołka \(C\) do środka boku \(AB\).

**Krok 1: Wyznaczenie środka boku \(AB\)**

Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne:
$$S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$

Podstawiając \(A=(-1,1)\) i \(B=(5,-3)\):
$$S = \left(\frac{-1 + 5}{2}, \frac{1 + (-3)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{-2}{2}\right) = (2, -1)$$

**Krok 2: Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez \(C\) i \(S\)**

Prosta przechodzi przez punkty \(C=(3,2)\) i \(S=(2,-1)\).

Współczynnik kierunkowy:
$$a = \frac{y_S - y_C}{x_S - x_C} = \frac{-1 - 2}{2 - 3} = \frac{-3}{-1} = 3$$

**Krok 3: Wyznaczenie wyrazu wolnego**

Używamy równania prostej \(y = ax + b\) i podstawiamy punkt \(C=(3,2)\):
$$2 = 3 \cdot 3 + b$$
$$2 = 9 + b$$
$$b = -7$$

**Odpowiedź:**

Równanie środkowej poprowadzonej do boku \(AB\) to:
$$y = 3x - 7$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp