---
route: /task/cke-2015-2023-pp-116
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-116
source: CKE 2015-2023 PP
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-116

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Do okręgu o środku \(O\) poprowadzono z zewnętrznego punktu \(P\) dwie styczne przecinające się w \(P\) pod kątem \(50^\circ \) (zobacz rysunek). Punktami styczności są, odpowiednio, punkty \(A\) i \(B\). Kąt \(AOB\) ma miarę

## Odpowiedzi

- **A.** \( 90^\circ \)
- **B.** \( 120^\circ \)
- **C.** \( 130^\circ \)
- **D.** \( 150^\circ \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Rozpatrzmy czworokąt \(PAOB\), w którym:
- punkt \(P\) to punkt przecięcia stycznych
- punkty \(A\) i \(B\) to punkty styczności
- punkt \(O\) to środek okręgu

**Krok 1: Własność stycznej do okręgu**

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

Zatem:
- \(OA \perp PA\), więc \(\angle OAP = 90°\)
- \(OB \perp PB\), więc \(\angle OBP = 90°\)

**Krok 2: Suma kątów w czworokącie**

Suma kątów w dowolnym czworokącie wynosi \(360°\).

W czworokącie \(PAOB\):

$$\angle APB + \angle OAP + \angle AOB + \angle OBP = 360°$$

**Krok 3: Podstawienie znanych wartości**

Z treści zadania wiemy, że \(\angle APB = 50°\).

Z kroku 1 wiemy, że \(\angle OAP = 90°\) i \(\angle OBP = 90°\).

Podstawiamy:

$$50° + 90° + \angle AOB + 90° = 360°$$

$$230° + \angle AOB = 360°$$

$$\angle AOB = 360° - 230° = 130°$$

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp