---
route: /task/cke-2015-2023-pp-115
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-115
source: CKE 2015-2023 PP
category: Trygonometria
points: 1
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-115

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W trójkącie prostokątnym \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(A\) jest prosty oraz \(\sin (\sphericalangle ABC)=\frac{1}{3}\). Oblicz \(\operatorname{tg} (\sphericalangle ABC)\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{2}}{4}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-115.png]

Dane są:
- trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy wierzchołku A
- $$\sin(\angle ABC) = \frac{1}{3}$$

Szukamy: $$\operatorname{tg}(\angle ABC)$$

**Krok 2: Oznaczenie kąta**

Oznaczmy $$\alpha = \angle ABC$$

Wiemy, że $$\sin \alpha = \frac{1}{3}$$

**Krok 3: Znajdowanie cosinusa**

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Podstawiamy:
$$\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\frac{1}{9} + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$

**Krok 4: Wyznaczenie cosinusa**

Ponieważ $$\alpha = \angle ABC$$ jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym, to $$\cos \alpha > 0$$, zatem:
$$\cos \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

**Krok 5: Obliczenie tangensa**

Korzystamy ze wzoru:
$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

Podstawiamy:
$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$$

**Krok 6: Usunięcie niewymierności z mianownika**

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

**Odpowiedź:** $$\operatorname{tg}(\angle ABC) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp