---
route: /task/cke-2015-2023-pp-114
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-114
source: CKE 2015-2023 PP
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-114

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Punkt \(A=(2,7)\) jest wierzchołkiem kwadratu \(ABCD\), a punkt \(S=(6,5)\) jest środkiem okręgu opisanego na tym kwadracie. Bok tego kwadratu ma długość

## Odpowiedzi

- **A.** \( \sqrt{10} \)
- **B.** \( \sqrt{20} \)
- **C.** \( 2\sqrt{10} \)
- **D.** \( 2\sqrt{20} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-114.png]

Wyznacza się długość boku kwadratu korzystając z własności środka okręgu opisanego.

**Krok 2: Własności kwadratu i okręgu opisanego**

Środek okręgu opisanego na kwadracie pokrywa się z punktem przecięcia przekątnych kwadratu. Zatem punkt \(S\) jest środkiem kwadratu.

**Krok 3: Związek między bokiem a przekątną**

Jeśli bok kwadratu ma długość \(a\), to przekątna ma długość \(a\sqrt{2}\).

Odległość od środka kwadratu do wierzchołka równa się połowie przekątnej:
$$|AS| = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

**Krok 4: Obliczenie odległości \(|AS|\)**

Wyznacza się odległość między punktami \(A=(2,7)\) i \(S=(6,5)\):

$$|AS| = \sqrt{(6-2)^2 + (5-7)^2}$$

$$|AS| = \sqrt{4^2 + (-2)^2}$$

$$|AS| = \sqrt{16 + 4}$$

$$|AS| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

**Krok 5: Wyznaczenie długości boku**

Z zależności:
$$\frac{a\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{5}$$

Mnoży się obie strony przez 2:
$$a\sqrt{2} = 4\sqrt{5}$$

Dzieli się przez \(\sqrt{2}\):
$$a = \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{10}}{2} = 2\sqrt{10}$$

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp