---
route: /task/cke-2015-2023-pp-113
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-113
source: CKE 2015-2023 PP
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-113

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Trójkąt \(T\) jest podobny do trójkąta \(T_1\) w skali \(k=\frac{1}{6}\), a trójkąt \(T_2\) jest podobny do trójkąta \(T\) w skali \(k=3\). Pole trójkąta \(T_2\) jest równe \(24\). Trójkąt \(T_1\) ma pole równe

## Odpowiedzi

- **A.** \( 12 \)
- **B.** \( 48 \)
- **C.** \( 72 \)
- **D.** \( 96 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy pola trójkątów odpowiednio jako \(P\), \(P_1\) i \(P_2\).

**Krok 1: Przypomnienie własności podobieństwa**

Gdy trójkąt jest podobny do drugiego w skali \(k\), to stosunek ich pól wynosi \(k^2\).

**Krok 2: Związek między \(T\) a \(T_1\)**

Trójkąt \(T\) jest podobny do \(T_1\) w skali \(k = \frac{1}{6}\), więc:

$$\frac{P}{P_1} = \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}$$

Stąd:
$$P = \frac{1}{36} \cdot P_1$$

**Krok 3: Związek między \(T_2\) a \(T\)**

Trójkąt \(T_2\) jest podobny do \(T\) w skali \(k = 3\), więc:

$$\frac{P_2}{P} = 3^2 = 9$$

Stąd:
$$P_2 = 9P$$

**Krok 4: Obliczenie pola \(P\)**

Wiemy, że \(P_2 = 24\), więc:

$$24 = 9P$$

$$P = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$$

**Krok 5: Obliczenie pola \(P_1\)**

Z zależności \(P = \frac{1}{36} \cdot P_1\):

$$\frac{8}{3} = \frac{1}{36} \cdot P_1$$

$$P_1 = \frac{8}{3} \cdot 36 = \frac{8 \cdot 36}{3} = \frac{288}{3} = 96$$

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp