---
route: /task/cke-2015-2023-pp-112
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-112
source: CKE 2015-2023 PP
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-112

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Punkty \(A=(7,6)\) i \(B=(1,-2)\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego \(ABC\). Promień koła opisanego na tym trójkącie jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{5\sqrt{3}}{6} \)
- **B.** \( \frac{5\sqrt{3}}{3} \)
- **C.** \( \frac{10\sqrt{3}}{6} \)
- **D.** \( \frac{10\sqrt{3}}{3} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-112.png]

Wyznacza się promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ABC.

## Krok 2: Oblicza się długość boku AB

Używa się wzoru na odległość między punktami:

$$|AB| = \sqrt{(7-1)^2 + (6-(-2))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

## Krok 3: Wykorzystuje się wzór na promień okręgu opisanego

Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) promień okręgu opisanego wynosi:

$$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

Można to wyprowadzić ze wzoru ogólnego \(R = \frac{a}{2\sin\alpha}\), gdzie \(\alpha\) jest kątem leżącym naprzeciwko boku \(a\). 

W trójkącie równobocznym każdy kąt ma miarę \(60°\), więc:

$$R = \frac{a}{2\sin 60°} = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

## Krok 4: Oblicza się promień

Podstawia się \(a = 10\):

$$R = \frac{10}{\sqrt{3}}$$

## Krok 5: Wymiernianie mianownika

Mnoży się licznik i mianownik przez \(\sqrt{3}\):

$$R = \frac{10}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$$

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp