---
route: /task/cke-2015-2023-pp-11
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-11
source: CKE 2015-2023 PP
category: Procenty
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-11

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Procenty
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W pewnej szkole przez trzy kolejne lata zmieniała się liczba uczniów. W pierwszym roku liczba uczniów zmalała i na koniec roku była o \(10\%\) mniejsza niż na początku. W drugim roku wzrosła i ukończyło go \(20\%\) więcej uczniów niż pierwszy. O ile procent, w stosunku do liczby uczniów kończących drugi rok, zmniejszyła się ich liczba w następnym roku, jeśli na koniec trzeciego roku było tyle samo uczniów co na początku pierwszego? Wynik zaokrąglij do \(0{,}1\%\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(7{,}4\%\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy liczbę uczniów na początku pierwszego roku jako \(x\).

## Rok pierwszy

Na koniec pierwszego roku liczba uczniów zmalała o 10%, więc:
$$\text{Koniec 1. roku} = x - 0{,}1x = 0{,}9x$$

## Rok drugi

W drugim roku liczba uczniów wzrosła o 20% w stosunku do stanu na koniec pierwszego roku:
$$\text{Koniec 2. roku} = 0{,}9x + 0{,}2 \cdot 0{,}9x = 0{,}9x \cdot 1{,}2 = 1{,}08x$$

## Rok trzeci

Wiemy, że na koniec trzeciego roku liczba uczniów wynosi \(x\) (tyle samo co na początku pierwszego roku).

Niech \(p\%\) oznacza procent, o który zmniejszyła się liczba uczniów w trzecim roku (w stosunku do liczby na końcu drugiego roku).

Zmniejszenie o \(p\%\) oznacza pomnożenie przez \(\left(1 - \frac{p}{100}\right)\):
$$1{,}08x \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right) = x$$

## Rozwiązanie równania

$$1 - \frac{p}{100} = \frac{x}{1{,}08x} = \frac{1}{1{,}08}$$

$$\frac{p}{100} = 1 - \frac{1}{1{,}08}$$

$$\frac{p}{100} = \frac{1{,}08 - 1}{1{,}08} = \frac{0{,}08}{1{,}08}$$

$$p = \frac{0{,}08}{1{,}08} \cdot 100 = \frac{8}{1{,}08} = \frac{800}{108} = \frac{200}{27}$$

$$p = 7{,}407...$$

Po zaokrągleniu do \(0{,}1\%\):

$$p \approx 7{,}4\%$$

**Odpowiedź: Liczba uczniów zmniejszyła się w trzecim roku o 7,4%**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/procenty
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp