---
route: /task/cke-2015-2023-pp-109
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-109
source: CKE 2015-2023 PP
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-109

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W stożku różnica długości tworzącej i promienia podstawy jest równa \(6\). Cosinus kąta \(\alpha \) między tworzącą a płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy \(\frac{2}{5}\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(40\pi \)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy:
- \(r\) - promień podstawy stożka
- \(l\) - długość tworzącej stożka
- \(\alpha\) - kąt między tworzącą a płaszczyzną podstawy

## Krok 1: Zapisanie danych z treści zadania

Z treści mamy:
$$l - r = 6$$

$$\cos \alpha = \frac{2}{5}$$

## Krok 2: Geometryczna interpretacja cosinusa

W trójkącie prostokątnym utworzonym przez:
- tworzącą \(l\) (przeciwprostokątna)
- promień podstawy \(r\) (przyprostokątna przy kącie \(\alpha\))
- wysokość stożka \(h\) (druga przyprostokątna)

zachodzi:
$$\cos \alpha = \frac{r}{l}$$

## Krok 3: Wyznaczenie zależności między \(r\) i \(l\)

Z warunku \(\cos \alpha = \frac{2}{5}\):
$$\frac{r}{l} = \frac{2}{5}$$

Stąd:
$$r = \frac{2l}{5}$$

## Krok 4: Obliczenie długości tworzącej

Podstawiamy \(r = \frac{2l}{5}\) do równania \(l - r = 6\):
$$l - \frac{2l}{5} = 6$$

$$\frac{5l - 2l}{5} = 6$$

$$\frac{3l}{5} = 6$$

$$l = 10$$

## Krok 5: Obliczenie promienia podstawy

$$r = \frac{2 \cdot 10}{5} = 4$$

## Krok 6: Obliczenie pola powierzchni bocznej

Wzór na pole powierzchni bocznej stożka:
$$P_{\text{boczne}} = \pi r l$$

Podstawiamy \(r = 4\) i \(l = 10\):
$$P_{\text{boczne}} = \pi \cdot 4 \cdot 10 = 40\pi$$

**Odpowiedź: \(40\pi\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp