---
route: /task/cke-2015-2023-pp-108
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-108
source: CKE 2015-2023 PP
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-108

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego wysokość ma długość \(H\) oraz kąt między krawędzią boczną i płaszczyzną podstawy jest równy \(60^\circ \). Wyznacz wzór na pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa w zależności od wysokości \(H\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{2H^2\sqrt{7}}{3}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-108.png]

Rozważam ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości \(H\).

**Krok 2: Analiza sytuacji**

Podstawą jest kwadrat o boku \(a\). Wysokość ostrosłupa \(H\) pada na środek podstawy (oznaczmy go \(O\)). Wierzchołek ostrosłupa to \(S\).

**Krok 3: Znalezienie długości krawędzi podstawy**

Krawędź boczna łączy wierzchołek \(S\) z wierzchołkiem podstawy (oznaczmy go \(A\)). Kąt między krawędzią boczną \(SA\) a płaszczyzną podstawy to kąt \(\angle SAO = 60^\circ\).

W trójkącie prostokątnym \(SOA\):
- \(SO = H\) (wysokość ostrosłupa)
- \(OA\) to odległość od środka kwadratu do wierzchołka

Dla kwadratu o boku \(a\): przekątna ma długość \(a\sqrt{2}\), więc:
$$OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Z trójkąta \(SOA\):
$$\tan(60^\circ) = \frac{SO}{OA} = \frac{H}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}$$

$$\sqrt{3} = \frac{2H}{a\sqrt{2}}$$

$$a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 2H$$

$$a = \frac{2H}{\sqrt{6}} = \frac{2H\sqrt{6}}{6} = \frac{H\sqrt{6}}{3}$$

**Krok 4: Znalezienie wysokości ściany bocznej**

Ściana boczna to trójkąt równoramienny. Jego wysokość \(h\) opuszczona z \(S\) pada na środek boku podstawy (oznaczmy go \(M\)).

W trójkącie prostokątnym \(SOM\):
- \(SO = H\)
- \(OM = \frac{a}{2}\) (odległość od środka kwadratu do środka boku)

$$h = \sqrt{H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$$

Podstawiając \(a = \frac{H\sqrt{6}}{3}\):

$$h = \sqrt{H^2 + \frac{1}{4} \cdot \frac{6H^2}{9}} = \sqrt{H^2 + \frac{6H^2}{36}} = \sqrt{H^2 + \frac{H^2}{6}}$$

$$h = \sqrt{\frac{6H^2 + H^2}{6}} = \sqrt{\frac{7H^2}{6}} = \frac{H\sqrt{7}}{\sqrt{6}} = \frac{H\sqrt{42}}{6}$$

**Krok 5: Obliczenie pola powierzchni bocznej**

Pole jednej ściany bocznej (trójkąta):
$$P_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{H\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{H\sqrt{42}}{6}$$

$$P_1 = \frac{H^2\sqrt{6 \cdot 42}}{36} = \frac{H^2\sqrt{252}}{36}$$

Ponieważ \(252 = 36 \cdot 7\):
$$\sqrt{252} = 6\sqrt{7}$$

$$P_1 = \frac{H^2 \cdot 6\sqrt{7}}{36} = \frac{H^2\sqrt{7}}{6}$$

Pole powierzchni bocznej (4 ściany):
$$P_{boczne} = 4 \cdot \frac{H^2\sqrt{7}}{6} = \frac{4H^2\sqrt{7}}{6} = \frac{2H^2\sqrt{7}}{3}$$

**Odpowiedź:** $$P_{boczne} = \frac{2H^2\sqrt{7}}{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp