---
route: /task/cke-2015-2023-pp-107
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-107
source: CKE 2015-2023 PP
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-107

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest \(2\) razy dłuższa od wysokości ostrosłupa poprowadzonej na tę podstawę. Wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(60^\circ \)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-107.png]

Oznaczmy długość krawędzi podstawy jako \(a\), a wysokość ostrosłupa jako \(h\).

**Dane:**
$$a = 2h$$

**Szukane:** Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.

**Krok 2: Analiza geometrii ostrosłupa**

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym:
- podstawą jest trójkąt równoboczny o boku \(a\)
- wysokość ostrosłupa pada do środka podstawy (punkt \(S\))
- kąt nachylenia ściany bocznej mierzymy jako kąt między ścianą boczną a płaszczyzną podstawy

**Krok 3: Znajdowanie kąta nachylenia**

Kąt nachylenia ściany bocznej to kąt między:
- wysokością ostrosłupa
- wysokością ściany bocznej opuszczoną z wierzchołka na krawędź podstawy

Potrzebujemy odległości od środka podstawy \(S\) do środka krawędzi podstawy. Nazwijmy ten punkt \(M\).

**Krok 4: Obliczenie odległości \(SM\)**

W trójkącie równobocznym o boku \(a\), odległość od środka do środka boku to promień okręgu wpisanego:

$$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Możemy też użyć wzoru: dla trójkąta równobocznego promień okręgu wpisanego to \(r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\).

**Krok 5: Rozważenie trójkąta prostokątnego**

W płaszczyźnie przechodzącej przez:
- wierzchołek ostrosłupa \(W\)
- środek podstawy \(S\)
- środek krawędzi podstawy \(M\)

otrzymujemy trójkąt prostokątny \(WSM\), gdzie:
- \(WS = h\) (wysokość ostrosłupa)
- \(SM = \frac{a\sqrt{3}}{6}\) (odległość od środka do środka boku)
- kąt \(\alpha\) przy wierzchołku \(M\) to szukany kąt nachylenia ściany

**Krok 6: Obliczenie kąta**

$$\tan \alpha = \frac{WS}{SM} = \frac{h}{\frac{a\sqrt{3}}{6}} = \frac{6h}{a\sqrt{3}}$$

Podstawiamy \(a = 2h\):

$$\tan \alpha = \frac{6h}{2h\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$$

**Krok 7: Wyznaczenie kąta**

$$\tan \alpha = \sqrt{3}$$

$$\alpha = 60°$$

**Odpowiedź:** Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy wynosi \(60°\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp