---
route: /task/cke-2015-2023-pp-106
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-106
source: CKE 2015-2023 PP
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-106

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W sześcianie \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) przekątna \(AC_1\) tworzy z płaszczyzną \(ABCD\) kąt \(\alpha \). Punkty \(L\) i \(J\) są odpowiednio środkami krawędzi \(DD_1\) i \(BB_1\) oraz \(|\sphericalangle LAJ|=2\beta \). Uzasadnij, że \(cos\alpha =\operatorname{tg} \beta \).

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że \(\cos\alpha = \operatorname{tg}\beta\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-106.png]

Przyjmuje się układ współrzędnych z wierzchołkiem \(A\) w początku układu.

## Krok 2: Ustalenie układu współrzędnych

Niech krawędź sześcianu ma długość \(a\). Umieszczam:
- \(A = (0, 0, 0)\)
- \(B = (a, 0, 0)\)
- \(C = (a, a, 0)\)
- \(D = (0, a, 0)\)
- \(A_1 = (0, 0, a)\)
- \(B_1 = (a, 0, a)\)
- \(C_1 = (a, a, a)\)
- \(D_1 = (0, a, a)\)

## Krok 3: Wyznaczenie współrzędnych punktów \(L\) i \(J\)

\(L\) jest środkiem \(DD_1\):
$$L = \frac{D + D_1}{2} = \frac{(0,a,0) + (0,a,a)}{2} = \left(0, a, \frac{a}{2}\right)$$

\(J\) jest środkiem \(BB_1\):
$$J = \frac{B + B_1}{2} = \frac{(a,0,0) + (a,0,a)}{2} = \left(a, 0, \frac{a}{2}\right)$$

## Krok 4: Obliczenie kąta \(\alpha\)

Przekątna \(AC_1\) łączy punkty \(A = (0,0,0)\) i \(C_1 = (a,a,a)\).

Wektor \(\overrightarrow{AC_1} = (a, a, a)\).

Rzut \(C_1\) na płaszczyznę \(ABCD\) to punkt \(C = (a, a, 0)\).

Kąt \(\alpha\) między \(AC_1\) a płaszczyzną \(ABCD\) spełnia:
$$\sin\alpha = \frac{|CC_1|}{|AC_1|} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + a^2 + a^2}} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Zatem:
$$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

## Krok 5: Obliczenie kąta \(2\beta\)

Wektory z punktu \(A\):
$$\overrightarrow{AL} = \left(0, a, \frac{a}{2}\right)$$
$$\overrightarrow{AJ} = \left(a, 0, \frac{a}{2}\right)$$

Oblicza się iloczyn skalarny:
$$\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{AJ} = 0 \cdot a + a \cdot 0 + \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4}$$

Długości wektorów:
$$|\overrightarrow{AL}| = \sqrt{0^2 + a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$$
$$|\overrightarrow{AJ}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$$

Kąt \(2\beta\):
$$\cos(2\beta) = \frac{\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{AJ}}{|\overrightarrow{AL}| \cdot |\overrightarrow{AJ}|} = \frac{\frac{a^2}{4}}{\frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{\frac{a^2}{4}}{\frac{5a^2}{4}} = \frac{1}{5}$$

## Krok 6: Wyznaczenie \(\operatorname{tg}\beta\)

Z wzoru: \(\cos(2\beta) = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\beta}{1 + \operatorname{tg}^2\beta}\)

Podstawia się \(\cos(2\beta) = \frac{1}{5}\):
$$\frac{1}{5} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\beta}{1 + \operatorname{tg}^2\beta}$$

$$1 + \operatorname{tg}^2\beta = 5(1 - \operatorname{tg}^2\beta)$$
$$1 + \operatorname{tg}^2\beta = 5 - 5\operatorname{tg}^2\beta$$
$$6\operatorname{tg}^2\beta = 4$$
$$\operatorname{tg}^2\beta = \frac{2}{3}$$

Zatem:
$$\operatorname{tg}\beta = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

## Wniosek

$$\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \operatorname{tg}\beta$$

co należało udowodnić. ∎

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp