---
route: /task/cke-2015-2023-pp-104
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-104
source: CKE 2015-2023 PP
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-104

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Tworząca stożka o kącie rozwarcia \(\alpha \) ma długość \(8\). Pole powierzchni całkowitej tego stożka jest równe \(48\pi\). Oblicz objętość stożka oraz miarę kąta \(\alpha \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\alpha =60^\circ \) i \(V=\frac{64\pi \sqrt{3}}{3}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Dane i oznaczenia

Oznaczmy:
- \(l = 8\) - długość tworzącej
- \(r\) - promień podstawy
- \(h\) - wysokość stożka
- \(\alpha\) - kąt rozwarcia stożka (kąt przy wierzchołku w przekroju osiowym)

## Krok 1: Wyznaczenie promienia podstawy

Pole powierzchni całkowitej stożka:
$$P_c = \pi r^2 + \pi r l$$

Podstawiamy dane:
$$48\pi = \pi r^2 + \pi r \cdot 8$$

Dzielimy przez \(\pi\):
$$48 = r^2 + 8r$$

$$r^2 + 8r - 48 = 0$$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
$$\Delta = 64 + 192 = 256$$

$$r = \frac{-8 \pm 16}{2}$$

Ponieważ \(r > 0\):
$$r = \frac{-8 + 16}{2} = 4$$

## Krok 2: Wyznaczenie wysokości stożka

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(r\), \(h\) i przeciwprostokątnej \(l\):
$$h^2 + r^2 = l^2$$

$$h^2 + 16 = 64$$

$$h^2 = 48$$

$$h = 4\sqrt{3}$$

## Krok 3: Obliczenie objętości

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

$$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 4\sqrt{3}$$

$$V = \frac{64\pi\sqrt{3}}{3}$$

## Krok 4: Wyznaczenie kąta rozwarcia

Kąt rozwarcia \(\alpha\) to kąt przy wierzchołku stożka w przekroju osiowym. Połowa tego kąta to kąt między tworzącą a wysokością.

W trójkącie prostokątnym:
$$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{l} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$

Zatem:
$$\frac{\alpha}{2} = 30°$$

$$\alpha = 60°$$

## Odpowiedź

$$\boxed{\alpha = 60° \text{ oraz } V = \frac{64\pi\sqrt{3}}{3}}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp