---
route: /task/cke-2015-2023-pp-103
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-103
source: CKE 2015-2023 PP
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-103

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) jest środkiem boku \(AB\) oraz \(|CD|=|CB|\) (zobacz rysunek). Bok \(CB\) przedłużono tak, że \(|CB|=|BE|\). Wykaż, że \(|AC|=|DE|\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że \(|AC|=|DE|\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Zostanie wykazane, że \(|AC| = |DE|\) wykorzystując własności wektorów.

## Oznaczenia wektorowe

Oznaczmy:
- \(\vec{CA} = \vec{a}\)
- \(\vec{CB} = \vec{b}\)

## Wyrażenie wektora \(\vec{CD}\)

Punkt \(D\) jest środkiem boku \(AB\), więc:

$$\vec{CD} = \vec{CA} + \vec{AD} = \vec{CA} + \frac{1}{2}\vec{AB}$$

Ponieważ \(\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA} = \vec{b} - \vec{a}\), otrzymujemy:

$$\vec{CD} = \vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$$

## Wykorzystanie warunku \(|CD| = |CB|\)

Z warunku \(|CD| = |CB|\) mamy \(|\vec{CD}| = |\vec{b}|\).

Obliczmy \(|\vec{CD}|^2\):

$$|\vec{CD}|^2 = \left|\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\right|^2 = \frac{1}{4}|\vec{a}|^2 + \frac{1}{2}\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{4}|\vec{b}|^2$$

Z warunku \(|\vec{CD}|^2 = |\vec{b}|^2\):

$$\frac{1}{4}|\vec{a}|^2 + \frac{1}{2}\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{4}|\vec{b}|^2 = |\vec{b}|^2$$

$$\frac{1}{4}|\vec{a}|^2 + \frac{1}{2}\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3}{4}|\vec{b}|^2$$

$$|\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 3|\vec{b}|^2 \quad \text{...(1)}$$

## Wyrażenie wektora \(\vec{DE}\)

Punkt \(E\) leży na przedłużeniu \(CB\) tak, że \(|CB| = |BE|\), więc:

$$\vec{CE} = \vec{CB} + \vec{BE} = \vec{b} + \vec{b} = 2\vec{b}$$

Zatem:

$$\vec{DE} = \vec{DC} + \vec{CE} = -\vec{CD} + \vec{CE} = -\left(\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\right) + 2\vec{b}$$

$$\vec{DE} = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + 2\vec{b} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b}$$

## Obliczenie \(|\vec{DE}|^2\)

$$|\vec{DE}|^2 = \left|-\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b}\right|^2 = \frac{1}{4}|\vec{a}|^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{9}{4}|\vec{b}|^2$$

$$|\vec{DE}|^2 = \frac{1}{4}|\vec{a}|^2 - \frac{3}{2}\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{9}{4}|\vec{b}|^2$$

Podstawiając z warunku (1): \(2\vec{a} \cdot \vec{b} = 3|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2\), więc \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2}{2}\):

$$|\vec{DE}|^2 = \frac{1}{4}|\vec{a}|^2 - \frac{3}{2} \cdot \frac{3|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2}{2} + \frac{9}{4}|\vec{b}|^2$$

$$= \frac{1}{4}|\vec{a}|^2 - \frac{9|\vec{b}|^2 - 3|\vec{a}|^2}{4} + \frac{9}{4}|\vec{b}|^2$$

$$= \frac{|\vec{a}|^2 + 3|\vec{a}|^2 - 9|\vec{b}|^2 + 9|\vec{b}|^2}{4} = \frac{4|\vec{a}|^2}{4} = |\vec{a}|^2$$

## Wniosek

Ponieważ \(|\vec{DE}|^2 = |\vec{a}|^2 = |\vec{CA}|^2\), otrzymujemy:

$$|DE| = |AC|$$

co kończy dowód.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp