---
route: /task/cke-2015-2023-pp-102
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-102
source: CKE 2015-2023 PP
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-102

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W stożku stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy jest równy \(\frac{3}{2}\). Oblicz sinus kąta między tworzącą a płaszczyzną podstawy tego stożka.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy:
- $$r$$ - promień podstawy stożka
- $$l$$ - długość tworzącej
- $$h$$ - wysokość stożka
- $$\alpha$$ - kąt między tworzącą a płaszczyzną podstawy

## Krok 1: Zapisanie pól powierzchni

Pole podstawy stożka:
$$P_{\text{podst}} = \pi r^2$$

Pole powierzchni bocznej stożka:
$$P_{\text{bocz}} = \pi r l$$

## Krok 2: Wykorzystanie danego stosunku

Z treści zadania:
$$\frac{P_{\text{bocz}}}{P_{\text{podst}}} = \frac{3}{2}$$

Podstawiamy wzory:
$$\frac{\pi r l}{\pi r^2} = \frac{3}{2}$$

Upraszczamy:
$$\frac{l}{r} = \frac{3}{2}$$

Stąd:
$$l = \frac{3r}{2}$$

## Krok 3: Znalezienie wysokości z twierdzenia Pitagorasa

W przekroju osiowym stożka otrzymujemy trójkąt prostokątny, gdzie:
- przyprostokątne to $$r$$ i $$h$$
- przeciwprostokątna to $$l$$

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$h^2 + r^2 = l^2$$

Podstawiamy $$l = \frac{3r}{2}$$:
$$h^2 + r^2 = \left(\frac{3r}{2}\right)^2$$

$$h^2 + r^2 = \frac{9r^2}{4}$$

$$h^2 = \frac{9r^2}{4} - r^2 = \frac{9r^2 - 4r^2}{4} = \frac{5r^2}{4}$$

$$h = \frac{r\sqrt{5}}{2}$$

## Krok 4: Obliczenie sinusa kąta

Kąt $$\alpha$$ między tworzącą a podstawą to kąt w trójkącie prostokątnym, gdzie:
- przeciwprostokątna: $$l = \frac{3r}{2}$$
- przyprostokątna naprzeciwko $$\alpha$$: $$h = \frac{r\sqrt{5}}{2}$$

Zatem:
$$\sin \alpha = \frac{h}{l} = \frac{\frac{r\sqrt{5}}{2}}{\frac{3r}{2}} = \frac{r\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3r} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$

**Odpowiedź:** $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp